从零开始，学到能用
自动控制原理 · 重学笔记
这份笔记的目标：从零开始重新学自动控制理论，并且学到能用在实际工作和个人项目里，比如电机、温度控制、平衡小车、无人机、各种自动化设备。内容按知识的先后依赖排列，每一章只用到前面讲过的东西；需要的数学（复数、微分方程、分贝、线性代数）也在用到之前讲清楚。
怎么用
- 按顺序读。每章开头有「学习目标」和「前置知识」，前置知识不熟就点链接回去补；
- 例题先自己算，再看解答。带「▶ 动手试试」的是交互图，一定要拖一拖滑块，看参数变化时响应怎么变；
- 每章最后有小结和练习，答案默认折叠。做完练习，在页面底部勾选「这一章我学完了」，这里会显示进度；
- 基础3、专题1 和第7章以后的代码都实际运行过（python-control 0.10.2、numpy 2.5.4、scipy 1.18.1），注释里写的就是实际输出，可以对照着跑；
- 遇到不认识的符号或术语，查术语与符号表。
学习路线
一、基础
控制在解决什么问题？需要哪些数学工具？
二、建模与分析
怎样描述一个系统？它稳不稳、快不快、准不准？后三章是三种角度，回答的是同一个问题。
三、设计
性能不满足要求，怎么改？
四、落地实践
怎样在电脑上仿真、把控制器放进单片机、调好参数、从数据得到模型？
五、进阶
多变量、不稳定对象、传感器融合、非线性。
六、实战
把前面的东西串起来，完整做几个项目。
两种学法
| 路线 | 顺序 | 适合 |
|---|---|---|
| 完整路线 | 按目录从头到尾 | 想把理论真正学懂，以后能读教材、论文和别人的设计 |
| 快速上手 | 第1章 → 基础1、2 → 第2、3章 → 第5章 5.4～5.5 节（稳定裕度）→ 第6章 → 第8章 → 专题1 第1～6节（滤波器）→ 第9章 → 第13章，其余用到时再补 | 手上有项目，想尽快把 PID 用好 |
知识地图
每一章需要先学哪些章，学完之后可以接着学哪些章：
一条贯穿始终的主线
第3～8章反复用同一个系统：单位负反馈，\(G(s)=\dfrac{K}{s(s+1)(s+3)}\)。用不同的方法分析同一个系统，最能看出这些方法之间的联系。
| 章节 | 方法 | 得到的结论 |
|---|---|---|
| 第3章 | 劳斯判据 | \(s^1\) 行为 \(\frac{12-K}{4}\)，所以 \(0<K<12\) 时稳定 |
| 第4章 | 根轨迹 | \(K=12\) 时根轨迹穿过虚轴 \(\pm j\sqrt3\)；\(K\approx1.83\) 时主导极点 \(\xi=0.5\) |
| 第5章 | 波特图、奈氏图 | \(K=12\) 时两个裕度同时为 0；\(K=4\) 时 \(\gamma\approx30^\circ\)，幅值裕度 9.5 dB |
| 第6章 | 超前、滞后校正 | 超前：\(K=4\) 不变，\(\gamma\) 提高到 50°，超调 42%→16%，调节时间 13 s→4 s；滞后：\(K=6\) 时 \(\gamma\) 18°→49° |
| 第7章 | Python 仿真 | 几行代码复现上面所有结果 |
| 第8章 | 数字实现 | 超前校正后的系统，采样周期 0.1 s 时 \(\gamma\) 掉到 46°，0.5 s 再加一拍延迟就不稳定了 |
公式速查
| 内容 | 公式 | 详见 |
|---|---|---|
| 复数乘除 | 模相乘（除），辐角相加（减）；\(e^{j\theta}=\cos\theta+j\sin\theta\) | 基础1 |
| 分贝 | \(20\lg A\)；×10 → +20 dB，×2 → +6 dB，×0.707 → −3 dB | 基础1 |
| 终值定理 | \(f(\infty)=\lim\limits_{s\to0}sF(s)\)（\(sF(s)\) 的极点都在左半平面） | 基础2 |
| 傅里叶级数 | 方波 \(\frac4\pi\big(\sin\omega_0t+\frac13\sin3\omega_0t+\frac15\sin5\omega_0t+\cdots\big)\)；复指数系数 \(|c_n|=A_n/2\) | 基础3 |
| FFT | \(\Delta f=f_s/N\)；单边幅值 \(2|X[k]|/N\)（加窗时 \(N\) 换成 \(\sum w\)）；分开两个频率要相差约 3 个 \(\Delta f\) | 基础3 |
| 闭环传递函数 | \(\Phi(s)=\dfrac{G(s)}{1+G(s)H(s)}\)，误差 \(\Phi_e(s)=\dfrac{1}{1+G(s)H(s)}\) | 2.5 |
| 梅逊公式 | \(T=\dfrac1\Delta\sum P_k\Delta_k\)，\(\Delta=1-\sum L_a+\sum L_bL_c-\cdots\) | 2.6 |
| 一阶系统 | \(\dfrac{1}{Ts+1}\)：\(t_s=3T\)（5%）或 \(4T\)（2%） | 3.2 |
| 二阶系统 | \(\sigma\%=e^{-\pi\xi/\sqrt{1-\xi^2}}\)，\(t_p=\dfrac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\xi^2}}\)，\(t_s\approx\dfrac{4.4}{\xi\omega_n}\)（2%） | 3.3 |
| 稳定的充要条件 | 闭环极点全部在左半 s 平面；劳斯表第一列全为正 | 3.5 |
| 稳态误差 | \(e_{ss}=\lim\limits_{s\to0}\dfrac{sR(s)}{1+G(s)H(s)}\)；阶跃 \(\frac{1}{1+K_p}\)，斜坡 \(\frac1{K_v}\)，加速度 \(\frac1{K_a}\) | 3.6 |
| 根轨迹渐近线 | \(\sigma_a=\dfrac{\sum p-\sum z}{n-m}\)，\(\varphi_a=\dfrac{(2k+1)\pi}{n-m}\) | 4.3 |
| 稳定裕度 | \(\gamma=180^\circ+\varphi(\omega_c)\)，\(20\lg h=-L(\omega_g)\)；经验 \(\gamma\approx100\xi\) | 5.5 |
| 超前校正 | \(\dfrac{Ts+1}{\alpha Ts+1}\)，\(\sin\varphi_m=\dfrac{1-\alpha}{1+\alpha}\)，\(\omega_m=\dfrac{1}{T\sqrt\alpha}\) | 6.2 |
| PID | \(K_p+\dfrac{K_i}{s}+K_ds\)；Z–N：\(K_p=0.6K_u\)，\(T_i=0.5T_u\)，\(T_d=0.125T_u\) | 6.4 |
| 离散化 | \(z=e^{sT_s}\)；稳定 ⟺ 极点在单位圆内；Tustin \(s\approx\frac{2}{T_s}\frac{z-1}{z+1}\) | 8.3 |
| 采样周期 | 相位损失 \(\approx\omega_c(T_s/2+\tau_{\text{计算}})\)；取 \(\omega_cT_s\approx0.1\sim0.3\) | 8.6 |
| 滤波器 | 一阶低通 \(f_c=\frac{1}{2\pi\tau}\)，通带里相当于延迟 \(\tau\)；回路里的相位损失 \(\approx\arctan(f_{\text{回路}}/f_c)\)；陷波 −3 dB 带宽 \(\approx2\zeta_pf_0\)，深度 \(\zeta_z/\zeta_p\) | 专题1 |
| 预畸变 | 不预畸变时 \(f_0\) 跑到 \(\frac{f_s}{\pi}\arctan\frac{\pi f_0}{f_s}\)；biquad 系数用 \(c=1/\tan(\pi f_0/f_s)\) | 专题1 |
| SIMC 整定 | FOPDT \(\frac{K}{Ts+1}e^{-Ls}\)：\(K_p=\dfrac{T}{K(\tau_c+L)}\)，\(T_i=\min(T,4(\tau_c+L))\)，默认 \(\tau_c=L\) | 9.7 |
| 两点法 | \(T=1.5(t_{63}-t_{28})\)，\(L=t_{63}-T\) | 10.2 |
| 状态空间 | \(G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D\)；极点 = \(A\) 的特征值；闭环 \(A-BK\) | 11.2 |
| 描述函数 | 继电器 \(N(A)=\dfrac{4M}{\pi A}\)；极限环：\(G(j\omega)=-1/N(A)\)；\(K_u\approx\dfrac{4d}{\pi a}\) | 12.4 |