数字控制：把控制器放进计算机

8.1 数字控制回路

一个典型的数字控制回路：

1. 采样（A/D 转换）：每隔 \(T_s\) 把连续的测量信号 \(y(t)\) 变成一个数 \(y(k)=y(kT_s)\)；
2. 计算：控制程序根据 \(r(k)\)、\(y(k)\) 和以前的数据算出 \(u(k)\)；
3. 保持（D/A 转换或 PWM）：把 \(u(k)\) 输出，并且一直保持到下一个采样时刻（零阶保持器，ZOH），对象看到的是阶梯形的输入。

和连续控制相比，多了三个问题：

• 混叠：采样太慢，高频信号会「伪装」成低频信号（8.2 节）；
• 延迟：零阶保持平均延迟 \(T_s/2\)，再加上计算时间，会吃掉相位裕度（8.6 节）；
• 量化：A/D、编码器的分辨率有限，信号是一格一格的，可能引起小幅振荡（第12章）。

8.2 采样定理与混叠

工程上的含义：

• 传感器信号里的高频噪声（比如 50 Hz 工频干扰、电机 PWM 的开关噪声）如果超过 \(f_s/2\)，采样后会变成低频「假信号」混进控制回路，事后用数字滤波去不掉；
• 所以在 A/D 之前要加抗混叠滤波器（模拟 RC 低通，截止频率低于 \(f_s/2\)），或者先用很高的频率过采样，数字滤波后再降采样；
• 采样定理只是下限。控制要的采样频率比它高得多（8.6 节）。

8.3 Z 变换与差分方程

离散系统用差分方程描述：输出 \(y(k)\) 由过去的输出和输入算出。例如

就是 \(\frac{1}{s+1}\) 在 \(T_s=0.1\) s 时的离散模型（8.4 节会算出来）。在程序里它就是一行代码：y = 0.9048*y + 0.09516*u。

Z 变换对离散序列的作用，就像拉氏变换对连续函数：

最重要的一条是最后一行：\(z^{-1}\) 就是「延迟一个采样周期」。对上面的差分方程两边取 Z 变换：\(Y(z)=0.9048z^{-1}Y(z)+0.09516z^{-1}U(z)\)，得到脉冲传递函数

终值定理：\(x(\infty)=\lim_{z\to1}(z-1)X(z)\)（序列收敛时）。例如上面这个系统的直流增益 \(G(1)=0.09516/0.0952=1\)。

离散系统的稳定性：单位圆

连续系统的极点 \(s\) 与离散系统的极点 \(z\) 之间的关系是 \(z=e^{sT_s}\)。由此：

例：\(\frac{1}{s+1}\) 的极点 \(s=-1\)，\(T_s=0.1\) 时离散极点 \(z=e^{-0.1}=0.9048\)，正是上面的分母。

8.4 连续控制器的离散化

实际工作中常见的做法是：先按连续理论设计控制器 \(G_c(s)\)，再把它「翻译」成差分方程。常用方法：

例：一阶低通滤波器 \(\dfrac{1}{\tau s+1}\)（\(\tau\) 为时间常数）

• 后向欧拉：\(y(k)=y(k-1)+\dfrac{T_s}{\tau+T_s}\big[u(k)-y(k-1)\big]\)。这就是程序员熟悉的「指数滑动平均」，系数 \(\alpha=\dfrac{T_s}{\tau+T_s}\)；
• 零阶保持：\(y(k)=a\,y(k-1)+(1-a)\,u(k-1)\)，\(a=e^{-T_s/\tau}\)（\(\tau=1\)、\(T_s=0.1\) 时就是上一节的 0.9048 和 0.09516）；
• Tustin：\(y(k)=\dfrac{2\tau-T_s}{2\tau+T_s}y(k-1)+\dfrac{T_s}{2\tau+T_s}\big[u(k)+u(k-1)\big]\)（\(\tau=1\)、\(T_s=0.1\) 时系数为 0.9048 和 0.04762）；
• 前向欧拉：\(y(k)=y(k-1)+\dfrac{T_s}{\tau}\big[u(k-1)-y(k-1)\big]\)，极点 \(1-T_s/\tau\)。\(T_s=0.5\tau\) 时为 0.5（正常）；\(T_s=1.5\tau\) 时为 −0.5（每拍变号）；\(T_s>2\tau\) 时跑出单位圆，原本稳定的滤波器变得不稳定。

import control as ct
G = ct.tf([1], [1, 1])
print(ct.c2d(G, 0.1, method="zoh"))      # 0.09516 / (z - 0.9048)
print(ct.c2d(G, 0.1, method="tustin"))   # (0.04762 z + 0.04762) / (z - 0.9048)

8.5 数字 PID

把 PID 的积分换成累加、微分换成差分：

两种形式在没有限幅时完全等价。增量式的好处：不需要保存累加和，输出限幅时天然不会积分饱和（直接对 \(u\) 限幅即可），手动/自动切换时不会跳变，适合步进电机、阀门这类本身就是「增量」的执行器。

#define TS 0.01f
#define KP 2.0f
#define KI 1.0f
#define KD 0.1f

/* 位置式：直接算出控制量 u(k) */
float pid_position(float e)
{
    static float sum = 0.0f, e_prev = 0.0f;
    float u;
    sum += e * TS;
    u = KP * e + KI * sum + KD * (e - e_prev) / TS;
    e_prev = e;
    return u;
}

/* 增量式：算出控制量的增量 du(k)，调用方做 u += du */
float pid_increment(float e)
{
    static float e1 = 0.0f, e2 = 0.0f;   /* e(k-1)、e(k-2) */
    float du = KP * (e - e1) + KI * TS * e + KD * (e - 2.0f * e1 + e2) / TS;
    e2 = e1;
    e1 = e;
    return du;
}

这是最简化的写法，用 static 变量只能有一个实例。项目里应该用结构体保存参数和状态，并加上限幅、抗饱和、微分滤波，见第9章的完整实现。

8.6 采样周期怎么选

零阶保持器的输出比原信号平均晚 \(T_s/2\)，计算也要时间（读传感器、算、输出，最坏可能晚一整个周期）。延迟在截止频率处造成的相位损失约为

例　第6章超前校正后的系统（连续时 \(\omega_c=1.55\) rad/s、\(\gamma=50.5^\circ\)），对象用零阶保持离散化、控制器用 Tustin 离散化后的相位裕度：

估算和实际很接近。经验规则：

采样也不是越快越好：采样太快，相邻两次的测量几乎一样，差分得到的微分基本全是噪声；数值精度问题也会变严重（极点都挤在 \(z=1\) 附近）。

在实验台里试一下：默认对象有 1 s 延迟，PI 参数是按连续系统整定的。把采样周期从 10 ms 拉到 1 s，超调从约 4% 增加到约 23%。

本章小结

练习