PID 工程实践

教科书上的 PID 公式只有一行，可直接把它写进程序，接到真实设备上，往往会遇到这些问题：一上电输出就顶到满、温度冲过头好几十度、电机嗡嗡响、改一下设定值执行器猛地一抖……这一章逐个解决它们。本章所有数字都可以在页面里的 PID 实验台上复现。

9.1 一个能用的 PID 长什么样

和课本公式相比，多了这几样东西：

9.2 积分饱和与抗饱和

现象：设定值大幅改变时，误差很大，控制量很快顶到上限，执行器已经尽全力了，可积分项还在继续累积。等输出终于接近设定值、误差开始反号时，积分已经攒了一大堆，要很久才能「退」回来，于是输出冲过头很多，还可能来回振荡。这叫积分饱和（windup）。

真实后果：第13章的温度控制例子，目标 200 °C，没有抗饱和时会冲到 234.6 °C。对 3D 打印机喷头、锅炉、化学反应釜，这样的超调可能直接损坏设备。

常用的抗饱和方法：

1. 条件积分（clamping）：输出饱和时停止积分，但如果误差的方向会让积分往回退，就继续积分。简单可靠，本笔记的代码都用这种。
2. 反算法（back-calculation）：把「限幅前后的差」反馈给积分器，饱和时积分自动往回拉：
   $$\frac{dI}{dt}=K_ie+\frac{1}{T_t}(u-u_{\text{raw}})$$
   \(T_t\) 是跟踪时间常数，常取 \(\sqrt{T_iT_d}\) 或 \(T_i/2\) 左右。
3. 积分限幅：直接限制积分项的大小。最粗糙，限值不好定。
4. 用增量式 PID（第8章）：对输出限幅就自然不会饱和。

条件积分不是在所有场合都最好：如果饱和只持续很短的时间，饱和期间完全停止积分，反而会让后面收尾变慢。第13章电机速度环的例子里，饱和只有 3 ms，条件积分的调节时间是 37 ms，反算法（\(T_t\approx T_i\)）只要 16 ms。饱和时间长（升温、大行程定位）时，条件积分的效果很好。

在实验台上试：执行器限幅只有 ±1.5，PID 参数较大。先不勾「抗积分饱和」（超调约 44%），再勾上（超调约 2%）。

9.3 微分项的处理

• 微分作用于测量值：把 \(\dfrac{de}{dt}\) 换成 \(-\dfrac{dy}{dt}\)。设定值阶跃时 \(e\) 会突变，导数理论上是无穷大，控制量会猛地一抖（微分冲击）；\(y\) 是连续变化的，不会这样。对扰动的响应两者完全一样。
• 微分加低通滤波：理想微分在高频的增益无穷大，测量噪声会被放大成很大的控制量抖动，让执行器发热、磨损、发出噪音。实际用 \(\dfrac{K_ds}{T_fs+1}\)，\(T_f=T_d/N\)，\(N\) 一般取 5～20。离散实现就是对差分结果再做一次指数滑动平均（第8章 8.4 节）。
• 能不用 D 就不用：大多数过程控制回路（温度、液位、流量）用 PI 就够了。D 主要用在需要增加阻尼的机械系统（电机位置、飞行器姿态）。

在实验台上试：① 取消「微分作用于测量值」，看右图设定值阶跃时 u 的尖峰（可达 200 以上，被限幅截断）；② 恢复后，把测量噪声加到 0.01，看控制量抖动；③ 勾上「微分低通滤波」，抖动明显减小。

9.4 设定值处理

设定值阶跃时超调大，但又不想降低增益（降低增益会让抗扰动变差），可以只改变「设定值进入控制器的方式」：

• 设定值权重：比例项用 \(b\,r-y\)（\(0\le b\le1\)）代替 \(r-y\)，积分项仍然用 \(r-y\)（保证无静差）。\(b\) 越小，设定值变化时比例项「推」得越轻，超调越小，但响应也越慢；对扰动的响应完全不变，因为扰动不经过 \(r\)。这种结构叫二自由度 PID：抗扰动性能和跟踪性能可以分开调。
• 设定值斜坡（或滤波）：不让设定值一下跳过去，而是按一定速率变化，避免执行器饱和，也更平稳。

三阶对象、Z–N 参数下：\(b=1\) 时超调 52.7%，\(b=0.5\) 时 17.0%，\(b=0\) 时 2.7%（上升时间从 1.5 s 变长到 3.1 s）。在实验台上拖动「设定值权重 b」验证，并勾上「中途加负载扰动」，看扰动响应不随 \(b\) 变化。

9.5 前馈

反馈控制要等误差出现了才动作，永远是「事后补救」。如果某个变化是事先知道或者可以测量的，就应该直接补偿它，这就是前馈。前馈不在回路里，不影响稳定性，剩下的误差再由反馈收拾。

• 设定值前馈：已知要达到设定值 \(r\) 大概需要多大的控制量，就直接加上。最简单的是静态前馈 \(u_{ff}=r/K\)（\(K\) 是对象的稳态增益），反馈只需要补偿模型误差。运动控制里常用速度、加速度前馈：\(u_{ff}=K_v\dot r+K_a\ddot r+\)摩擦补偿，跟踪轨迹时误差能小一个数量级。
• 扰动前馈：扰动 \(d\) 能测到（比如室外温度、负载电流、进料流量），它经过 \(G_d(s)\) 影响输出，控制量经过 \(G_p(s)\) 影响输出。理想的前馈 \(G_{ff}(s)=-\dfrac{G_d(s)}{G_p(s)}\) 可以完全抵消扰动；实际常用它的静态部分 \(-\dfrac{G_d(0)}{G_p(0)}\)，或者加一个超前/滞后环节近似动态。

9.6 串级控制

两个（或多个）回路套起来：外环的输出作为内环的设定值。

• 电机：位置环（外）→ 速度环 → 电流环（内）。内环先把电流、速度管好，外环只需要管位置；
• 温度：温度环（外）→ 加热功率或流量环（内）。电网电压波动这类扰动在内环就被消掉了，温度环感觉不到；
• 多旋翼：角度环（外）→ 角速度环（内）。

第13章的电机案例给出一个具体的串级设计。

9.7 参数整定方法

方法一：先测模型，再用公式（推荐）

大多数过程对象（温度、液位、压力、电机速度）的阶跃响应都是「先延迟一会儿，再像一阶惯性环节那样上升」，可以近似成一阶加纯延迟（FOPDT）模型：

做一次阶跃测试就能得到 \(K\)、\(T\)、\(L\)，方法见第10章。然后用 SIMC 整定规则（Skogestad）：

例　对象 \(\dfrac{e^{-s}}{5s+1}\)（\(K=1\)，\(T=5\)，\(L=1\)），取 \(\tau_c=1\)：\(K_p=\dfrac{5}{1\times2}=2.5\)，\(T_i=\min(5,8)=5\)，\(K_i=0.5\)。闭环超调 4.2%，调节时间约 6 s。作为对比，Z–N 阶跃响应法（\(K_p=0.9T/(KL)\)，\(T_i=3.33L\)）给出的 PI 参数超调 55%。

方法二：Z–N 法（了解即可）

Z–N 法有两种：第6章讲的临界比例度法，和这里的阶跃响应法（\(K_p=1.2T/(KL)\)、\(T_i=2L\)、\(T_d=0.5L\) 给 PID）。它们的目标是「衰减比 4:1」，参数很激进，超调常在 50% 以上，现在一般只当作起点。

方法三：继电反馈自整定

想测临界增益，又不想冒险把系统调到等幅振荡？用继电反馈（Åström–Hägglund）：把控制器临时换成一个开关，误差为正时输出 \(+d\)，为负时输出 \(-d\)。大多数对象会自动进入一个稳定的小幅振荡：

\(a\) 是输出振荡的幅值。原理是第12章的描述函数法。例：三阶对象 \(\frac{1}{(s+1)^3}\)、\(d=1\)，仿真得到 \(a=0.163\)、\(T_u=3.68\) s，估计 \(K_u=7.80\)（真值 8，\(T_u\) 真值 3.63 s），误差约 2%。得到 \(K_u\)、\(T_u\) 后再用 Z–N 表或更保守的规则（比如 Tyreus–Luyben：PI 取 \(K_p=K_u/2.2\)，\(T_i=2.2T_u\)）。

很多工业温控器的「自整定」按钮，以及 3D 打印机固件的 PID 自整定（比如 Marlin 的 M303 命令），都是这个原理：先让加热器在目标温度附近开关几个周期，测出振荡幅度和周期，再算 PID 参数。

方法四：现场手动调

没有模型、也不能做实验时：先 P 后 I 再 D（第6章）。调的时候每次只改一个参数，改动幅度按倍数来（比如 ×2 或 ×0.5），记录每次的响应。

9.8 看现象找原因

9.9 完整实现

下面的 C 代码实现了本章的所有要点：并联形式、设定值权重、微分作用于测量值并滤波、输出限幅、条件积分抗饱和、无扰切换。Python 版本的逻辑完全一样，已在仿真中验证（本页的实验台用的也是同样的算法）。

typedef struct {
    float kp, ki, kd;      /* 并联形式的增益 */
    float b;               /* 设定值权重：比例项用 b*r - y，取 0~1 */
    float tf;              /* 微分滤波时间常数 [s]，0 表示不滤波 */
    float umin, umax;      /* 输出限幅 */
    float ts;              /* 采样周期 [s] */
    float integral;        /* 以下是内部状态 */
    float d_filt;
    float prev_y;
    int   first;
} PidCtrl;

void pid_init(PidCtrl *p, float kp, float ki, float kd, float ts, float umin, float umax)
{
    p->kp = kp; p->ki = ki; p->kd = kd; p->ts = ts;
    p->umin = umin; p->umax = umax;
    p->b = 1.0f; p->tf = 0.0f;
    p->integral = 0.0f; p->d_filt = 0.0f; p->prev_y = 0.0f; p->first = 1;
}

/* 每个采样周期调用一次：r 为设定值，y 为测量值，返回控制量 */
float pid_update(PidCtrl *p, float r, float y)
{
    float e = r - y;
    float d_raw, u_raw, u;

    /* 微分作用于测量值（设定值突变时不产生尖峰），并做一阶低通滤波 */
    d_raw = p->first ? 0.0f : -(y - p->prev_y) / p->ts;
    p->prev_y = y;
    p->first = 0;
    if (p->tf > 0.0f)
        p->d_filt += p->ts / (p->tf + p->ts) * (d_raw - p->d_filt);
    else
        p->d_filt = d_raw;

    u_raw = p->kp * (p->b * r - y) + p->ki * p->integral + p->kd * p->d_filt;

    /* 输出限幅 */
    u = u_raw;
    if (u > p->umax) u = p->umax;
    if (u < p->umin) u = p->umin;

    /* 抗积分饱和（条件积分）：没有饱和，或者误差会让积分往回退时，才继续积分 */
    if (u == u_raw || (u_raw > p->umax && e < 0.0f) || (u_raw < p->umin && e > 0.0f))
        p->integral += e * p->ts;

    return u;
}

/* 手动切到自动时调用，让自动模式的第一个输出等于当前手动输出（无扰切换） */
void pid_bumpless(PidCtrl *p, float r, float y, float u_manual)
{
    p->prev_y = y;
    p->first = 0;
    p->d_filt = 0.0f;
    if (p->ki != 0.0f)
        p->integral = (u_manual - p->kp * (p->b * r - y)) / p->ki;
}

在单片机里的用法（read_speed、set_motor_voltage 换成你自己的硬件函数）：

static PidCtrl speed_pid;
static volatile float speed_ref = 0.0f;   /* 设定值，可以由其他任务修改 */

void control_init(void)
{
    /* 1 kHz 采样，输出 ±12 V */
    pid_init(&speed_pid, 0.05f, 2.0f, 0.0f, 0.001f, -12.0f, 12.0f);
    speed_pid.tf = 0.002f;
}

/* 定时器中断，每 1 ms 进来一次：读测量 → 算控制量 → 输出，顺序和周期都要固定 */
void timer_1ms_isr(void)
{
    float w = read_speed();
    float u = pid_update(&speed_pid, speed_ref, w);
    set_motor_voltage(u);
}

上面的增益只是示意，实际要按你的电机整定（第13章）。改参数时最好先调用 pid_bumpless，避免输出跳变。

9.10 上线前检查清单

• ☐ 采样周期固定，实际测过；读测量、计算、输出的延迟尽量小；
• ☐ 传感器方向、单位、零点正确；控制量的符号正确（正的控制量让输出往正方向变）；
• ☐ 输出限幅符合执行器能力和安全要求；有抗积分饱和；
• ☐ 微分作用于测量值并滤波（或者干脆不用 D）；
• ☐ 设定值有限幅，大幅变化时有斜坡；
• ☐ 手动/自动切换、参数修改时无扰；
• ☐ 有安全保护：传感器断线、超温、超速时关断输出（看门狗）；
• ☐ 能记录设定值、测量值、控制量的曲线，出问题时能回放分析；
• ☐ 先在仿真里验证过（第7章），上机先用小增益，逐步加大。

本章小结

练习