线性系统的频域分析

5.1 频率特性

给稳定的线性系统输入正弦信号 \(r(t)=A\sin\omega t\)，等过渡过程结束后，输出是同频率的正弦信号，只是幅值和相位变了：

为什么：\(C(s)=G(s)\dfrac{A\omega}{s^2+\omega^2}\)，部分分式展开后，系统自身极点对应的项都会衰减掉（系统稳定），只剩下 \(s=\pm j\omega\) 两个极点对应的正弦项，它的幅值和相位由 \(G(j\omega)\) 决定。

例　惯性环节 \(G(s)=\dfrac{1}{Ts+1}\)，\(G(j\omega)=\dfrac{1}{1+j\omega T}\)：

低频时 \(A\approx1\)、\(\varphi\approx0\)（输出跟得上输入）；\(\omega=1/T\) 时 \(A=0.707\)、\(\varphi=-45^\circ\)；高频时 \(A\to0\)、\(\varphi\to-90^\circ\)（跟不上了）。这就是 RC 低通滤波器。

计算方法：把 \(G(j\omega)\) 拆成因子，用「模相乘、辐角相加」逐个算。例如 \(G(j\omega)=\dfrac{K}{j\omega(j\omega+1)(j\omega+3)}\)：

常用的图有三种：幅相曲线（奈奎斯特图）、对数频率特性（波特图）、对数幅相图（尼科尔斯图）。前两种最重要。

5.2 幅相曲线（奈奎斯特图）

在复平面上画出 \(\omega\) 从 0 变到 ∞ 时 \(G(j\omega)\) 这个点走过的轨迹，就是幅相曲线。每个点到原点的距离是幅值，与正实轴的夹角是相角。

画开环幅相曲线的草图，抓住三个点就够了：

1. 起点（\(\omega\to0^+\)）：0 型系统从实轴上的 \(K\) 出发；有 \(\nu\) 个积分环节时，从无穷远处、沿 \(-\nu\cdot90^\circ\) 的方向出发；
2. 终点（\(\omega\to\infty\)）：真分式的幅值趋于 0，从 \(-(n-m)\cdot90^\circ\) 的方向进入原点；
3. 与负实轴的交点：令 \(\operatorname{Im}G(j\omega)=0\)（或相角 = −180°）求出频率，再算出实部。这个点和 −1 的相对位置决定稳定性。

例　\(G(s)=\dfrac{K}{s(s+1)(s+3)}\)：I 型，起点在无穷远、沿 −90° 方向（实际上靠近竖线 \(\operatorname{Re}=-4K/9\)）；\(n-m=3\)，终点从 −270°（即 +90°）方向进入原点；相角为 −180° 的条件 \(\arctan\omega+\arctan\frac\omega3=90^\circ\) 给出 \(\omega=\sqrt3\)，此时 \(|G|=K/12\)，所以曲线穿过负实轴的位置是 \(-K/12\)。

5.3 波特图（对数频率特性）

横轴是 \(\omega\)，按对数刻度画；上图纵轴是对数幅频 \(L(\omega)=20\lg A(\omega)\)（dB），下图纵轴是相频 \(\varphi(\omega)\)（度）。

典型环节的波特图

拖一下滑块感受惯性环节：

画开环波特图的步骤

1. 把开环传递函数写成时间常数形式 \(G(s)=\dfrac{K\prod(\tau_is+1)}{s^\nu\prod(T_js+1)}\cdots\)，求出所有转折频率（\(1/T_j\)、\(1/\tau_i\)、\(\omega_n\)），从小到大排好；
2. 低频段：斜率为 \(-20\nu\) dB/dec，在 \(\omega=1\) 处（或它的延长线上）的值为 \(20\lg K\)；
3. 从低频往高频走，每经过一个转折频率改变一次斜率：惯性环节 −20，一阶微分 +20，振荡环节 −40；
4. 相频曲线：把各环节的相角逐点相加，算几个关键频率的值描点即可。

例　\(G(s)=\dfrac{4}{s(s+1)(s+3)}=\dfrac{4/3}{s(s+1)(\frac s3+1)}\)：\(K=\frac43\)（\(20\lg K\approx2.5\) dB），\(\nu=1\)，转折频率 1 和 3。

• \(\omega<1\)：−20 dB/dec，延长线过 (1, 2.5 dB)；
• \(1<\omega<3\)：−40 dB/dec；\(\omega>3\)：−60 dB/dec；
• 相频 \(\varphi(\omega)=-90^\circ-\arctan\omega-\arctan\frac\omega3\)，从 −90° 逐渐降到 −270°。

渐近线在 −40 dB/dec 段穿过 0 dB，估计 \(\omega_c\approx10^{2.5/40}\approx1.15\) rad/s；精确值是 0.93 rad/s（转折频率附近实际曲线比渐近线低）。手画时渐近线估计就够用了。

最小相位系统：开环零点、极点都不在右半平面，也没有延迟环节。这类系统的幅频和相频一一对应：幅频斜率 −20 dB/dec 的频段，相角大约是 −90°；−40 dB/dec 大约是 −180°。所以对最小相位系统，常常只看幅频曲线就够了。

5.4 奈奎斯特稳定判据

奈氏判据用开环频率特性判断闭环是否稳定。它的依据是复变函数的幅角原理：闭环特征方程 \(1+G(s)H(s)=0\) 的根，就是 \(G(s)H(s)=-1\) 的点。让 \(s\) 沿着包围整个右半平面的大闭合曲线走一圈，\(G(s)H(s)\) 绕 −1 点转的圈数，就反映了右半平面里闭环极点和开环极点的个数之差。

• 最常见的情况：开环稳定（\(P=0\)），闭环稳定 ⟺ 奈氏曲线不包围 −1 点。
• 通常只画 \(\omega\) 从 0 到 \(+\infty\) 的半条曲线（另一半关于实轴对称），半条曲线逆时针包围 −1 点 \(N\) 圈，则 \(R=2N\)。
• 开环有 \(\nu\) 个积分环节（原点处的极点不算在 \(P\) 里）时，\(\omega=0^+\) 处曲线来自无穷远，曲线不闭合。规则：从 \(\omega=0\) 对应的正实轴方向（无穷远处）开始，顺时针补画一段半径无穷大、角度为 \(\nu\times90^\circ\) 的圆弧，接到 \(\omega=0^+\) 的起点，再数圈数。

例 1（开环稳定）　\(G(s)=\dfrac{K}{s(s+1)(s+3)}\)，\(P=0\)，\(\nu=1\)。补画的圆弧从正实轴方向顺时针转 90°，接到曲线在 −90° 方向的起点。曲线穿过负实轴的位置是 \(-K/12\)：

• \(K<12\)：穿越点在 −1 右边，−1 点不在曲线包围的区域内，\(N=0\)，\(Z=0\)，稳定；
• \(K>12\)：穿越点在 −1 左边，半条曲线顺时针包围 −1 点一圈（\(N=-1\)），\(R=-2\)，\(Z=0-(-2)=2\)，闭环有两个右半平面极点，不稳定。

和根轨迹的结论完全一致（\(K>12\) 时恰好有一对极点进入右半平面）。

例 2（开环不稳定）　\(G(s)=\dfrac{K}{s-1}\)，开环极点 +1，\(P=1\)。\(G(j\omega)=\dfrac{K}{j\omega-1}\) 的完整曲线（\(\omega\) 从 −∞ 到 +∞）是一个圆：从原点出发，经过 \(-K\)，回到原点，方向为逆时针。

• \(K>1\)：圆把 −1 点包在里面，逆时针一圈，\(R=1=P\)，\(Z=0\)，闭环稳定；
• \(K<1\)：−1 点在圆外，\(R=0\)，\(Z=1\)，不稳定。

验证：闭环特征方程 \(s-1+K=0\)，根 \(s=1-K\)，\(K>1\) 时为负，对。这说明开环不稳定的对象，加了反馈后可以变稳定（倒立摆、平衡小车都是这样），但需要足够的增益，增益太小反而不行。

在波特图上用奈氏判据：−1 点对应 0 dB 和 −180°。在 \(L(\omega)>0\) dB 的频段内，数相频曲线穿过 −180° 线的次数：从下往上穿是正穿越 \(N_+\)，从上往下穿是负穿越 \(N_-\)。闭环右半平面极点数 \(Z=P-2(N_+-N_-)\)。有积分环节时，要在低频端从 0° 向下补画 \(\nu\times90^\circ\) 的虚线一起算；若相频曲线从 −180° 线上开始往下走（比如 II 型系统），这算半次负穿越。

5.5 稳定裕度

奈氏曲线离 −1 点越近，系统越接近不稳定。「还差多远」用两个裕度来衡量：

手算例子　\(G(s)=\dfrac{4}{s(s+1)(s+3)}\)。

• 幅值裕度：\(\omega_g=\sqrt3\) 时 \(|G|=4/12=1/3\)，所以 \(h=3\)，即 9.5 dB；
• 截止频率：解 \(\dfrac{4}{\omega\sqrt{1+\omega^2}\sqrt{9+\omega^2}}=1\)。试几个值：\(\omega=0.9\) 时为 1.055，\(\omega=0.93\) 时为 1.003，\(\omega=1\) 时为 0.894，所以 \(\omega_c\approx0.93\) rad/s；
• 相位裕度：\(\varphi(0.93)=-90^\circ-42.9^\circ-17.2^\circ\approx-150.2^\circ\)，\(\gamma\approx29.8^\circ\)。

• \(K=12\)：两个裕度同时为 0，\(\omega_c=\omega_g=\sqrt3\)，正是根轨迹穿过虚轴的地方，也是劳斯表出现全零行的地方。三种方法得到同一个答案。
• \(K=1.83\)：\(\gamma\approx52^\circ\)，对应第4章选出的 \(\xi=0.5\)。

5.6 闭环频率特性

闭环频率特性 \(\Phi(j\omega)\) 描述闭环系统跟踪不同频率输入的能力。常用的指标：

• 谐振峰值 \(M_r\)：闭环幅频的最大值（相对零频值），越大说明越容易振荡；
• 谐振频率 \(\omega_r\)：出现谐振峰值的频率；
• 带宽 \(\omega_b\)：闭环幅频下降到零频值的 0.707（−3 dB）时的频率。带宽越宽，响应越快，但也越容易让噪声通过。

对标准二阶系统（\(\xi\le0.707\) 时才有谐振峰）：

例如 \(\xi=0.5\) 时 \(M_r=1.15\)（1.25 dB），\(\omega_r=0.707\omega_n\)，\(\omega_b=1.27\omega_n\)。

开环指标与 \(\xi\) 的关系（单位反馈的标准二阶系统）：

由此得到一条很好用的经验：\(\gamma\approx100\xi\)（度，\(\xi\) 在 0.2～0.7 之间）。相位裕度 45° 左右，大致对应 20%～25% 的超调。

5.7 从开环频率特性看系统性能：三频段

对最小相位系统，开环对数幅频曲线可以分成三段来看：

这是第6章设计校正装置的指导思想：低频段要高（准），中频段以 −20 dB/dec 穿越并且够宽（稳、快），高频段要低（抗噪声）。

动手：在 pid.py 里写好 P 控制（第6章、第9章）后运行 app.py，选三阶对象 \(\dfrac{1}{(s+1)^3}\)、\(K_p=1\)。右边波特图上的幅值裕度约 18 dB（即 8 倍），所以预测 \(K_p\approx8\) 时临界。把 \(K_p\) 拖到 8 附近，看输出是不是变成等幅振荡。

本章小结

练习