拉普拉斯变换

1. 定义与常用变换对

对 \(t\ge0\) 有定义的函数 \(f(t)\)，它的拉氏变换为

可以把它理解成：用一族「衰减振荡」\(e^{-st}\) 去「称量」\(f(t)\)，得到一个以 \(s\) 为自变量的新函数。时域里的 \(f(t)\) 和 s 域里的 \(F(s)\) 一一对应，记作 \(f(t)\leftrightarrow F(s)\)。

两个用定义算出来的例子

单位阶跃 \(1(t)\)（\(t\ge0\) 时为 1）：

指数函数 \(e^{-at}\)：

括号里的条件保证积分收敛，实际使用时一般不用管它。由欧拉公式 \(\sin\omega t=\frac{1}{2j}(e^{j\omega t}-e^{-j\omega t})\)，用上面第二个结果就能得到 \(\sin\omega t\) 的变换。表里其余的变换对都可以这样推出来，做题时直接查表，不用每次积分。

常用变换对（要熟到看见就能写）

2. 基本性质

2.1 线性性质

例　\(\mathcal L[A(1-e^{-\alpha t})] = A\left(\dfrac1s-\dfrac{1}{s+\alpha}\right)=\dfrac{A\alpha}{s(s+\alpha)}\)

例　\(\mathcal L[\sin\omega t] = \dfrac{1}{2j}\left[\dfrac{1}{s-j\omega}-\dfrac{1}{s+j\omega}\right] = \dfrac{\omega}{s^2+\omega^2}\)

2.2 微分定理（最重要）

推导（分部积分）：\(\displaystyle\int_0^\infty f'(t)e^{-st}dt=\Big[f(t)e^{-st}\Big]_0^\infty+s\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt=sF(s)-f(0)\)。二阶导数再用一次即可。

严格地说初始值取 \(t=0^-\)（输入加上之前那一刻）的值，教材里写成 \(f(0^-)\)。对没有冲激的一般问题，不必区分 \(0^-\) 和 \(0^+\)。

例　\(\mathcal L[\cos\omega t]=\mathcal L\left[\dfrac1\omega\dfrac{d}{dt}\sin\omega t\right]=\dfrac1\omega\left[s\cdot\dfrac{\omega}{s^2+\omega^2}-\sin0\right]=\dfrac{s}{s^2+\omega^2}\)

例　\(\mathcal L[\delta(t)]=\mathcal L\left[\dfrac{d}{dt}1(t)\right]=s\cdot\dfrac1s-0=1\)

2.3 积分定理

积分对应「除以 \(s\)」。所以 \(\dfrac1s\) 叫积分环节，PID 里的 I 就是它。例：\(\mathcal L[t]=\mathcal L\left[\int_0^t1\,d\tau\right]=\dfrac{1}{s}\cdot\dfrac1s=\dfrac1{s^2}\)。

2.4 时域位移（延迟）定理

信号整体推迟 \(\tau\) 秒，相当于乘以 \(e^{-\tau s}\)，这就是延迟环节（皮带输送、管道传输、网络通信延迟）。例：在 \(t=2\) 时才出现的阶跃 \(1(t-2)\)，其变换为 \(\dfrac{e^{-2s}}{s}\)。

2.5 s 域平移定理

时域乘以 \(e^{-\alpha t}\)，s 域就把 \(s\) 换成 \(s+\alpha\)。例：\(\mathcal L[te^{-\alpha t}]=\dfrac{1}{(s+\alpha)^2}\)；\(\mathcal L[e^{-\alpha t}\sin\omega t]=\dfrac{\omega}{(s+\alpha)^2+\omega^2}\)。

2.6 初值定理和终值定理

终值定理的用处：不用求出 \(f(t)\)，直接得到稳态值。第3章求稳态误差时天天用。

例　\(F(s)=\dfrac{1}{s+a}\)：\(f(0^+)=\lim_{s\to\infty}\dfrac{s}{s+a}=1\)；\(a>0\) 时 \(f(\infty)=\lim_{s\to0}\dfrac{s}{s+a}=0\)。验证：\(f(t)=e^{-at}\)。

2.7 性质汇总表

卷积定理的意义：系统输出等于输入与脉冲响应的卷积，在 s 域里就成了乘法 \(C(s)=G(s)R(s)\)。这是传递函数能「相乘」的根本原因。

3. 拉氏反变换：部分分式法

控制里遇到的 \(F(s)\) 几乎都是有理分式 \(\dfrac{B(s)}{A(s)}\)。思路是把它拆成若干简单分式之和，每一项查表：

1. 如果分子次数 \(\ge\) 分母次数，先做多项式除法，化成「多项式 + 真分式」；
2. 把分母因式分解，求出所有极点；
3. 按极点的类型写出展开式，求出各项系数；
4. 逐项查表得到 \(f(t)\)，最后用初值或终值验算一下。

3.1 不同的实数极点

求 \(k_i\) 的技巧叫遮盖法：在 \(F(s)\) 的分母里遮住 \((s-s_i)\) 这个因子，把 \(s=s_i\) 代入剩下的式子。

例　\(F(s)=\dfrac{s+3}{(s+1)(s+2)}\)。

验算：\(\dfrac{2}{s+1}-\dfrac{1}{s+2}=\dfrac{2(s+2)-(s+1)}{(s+1)(s+2)}=\dfrac{s+3}{(s+1)(s+2)}\)，对。

3.2 分子次数不低于分母：先做除法

例　\(F(s)=\dfrac{s^2+3s+3}{s^2+3s+2}=1+\dfrac{1}{(s+1)(s+2)}=1+\dfrac{1}{s+1}-\dfrac{1}{s+2}\)

常数 1 对应 \(\delta(t)\)，所以 \(f(t)=\delta(t)+e^{-t}-e^{-2t}\)。实际物理系统的传递函数一般是真分式，但求响应时偶尔会遇到这种情况。

3.3 共轭复数极点

方法一：配方后查表（考试里往往最快）。把分母配成 \((s+a)^2+\omega^2\)，分子凑成 \((s+a)\) 和 \(\omega\) 的组合。

例　\(F(s)=\dfrac{s}{s^2+2s+5}=\dfrac{s}{(s+1)^2+2^2}=\dfrac{s+1}{(s+1)^2+2^2}-\dfrac12\cdot\dfrac{2}{(s+1)^2+2^2}\)

最后一步用的是合并公式。

方法二：求复数系数。共轭极点 \(-\alpha\pm j\omega\) 的两个系数也是共轭的，只要算一个：

同一个例子：极点 \(-1\pm j2\)，

\(\frac{-1+j2}{4j}\) 的算法见数学基础 例 1。两种方法结果一样。

3.4 重根

二重极点 \(s_1\)：

原理：两边同乘 \((s-s_1)^2\) 得 \(F(s)(s-s_1)^2=k_1(s-s_1)+k_2+\cdots\)，令 \(s=s_1\) 得 \(k_2\)；先求一次导再令 \(s=s_1\) 得 \(k_1\)。\(n\) 重极点的一般公式：

例　\(F(s)=\dfrac{1}{s^2(s+1)}\)：原点是二重极点，−1 是单极点。

3.5 练习（先自己做，再展开看答案）

4. 应用：用拉氏变换解微分方程

步骤：① 两边取拉氏变换，代入初始条件；② 解出 \(Y(s)\)；③ 部分分式展开后反变换。

例 1（带初始条件）　\(\ddot y+3\dot y+2y=2\cdot1(t)\)，\(y(0)=0\)，\(\dot y(0)=1\)。

验算：\(y(0)=0\)，\(\dot y(0)=1\)，代回方程 \(-e^{-t}+3e^{-t}+2-2e^{-t}=2\)，全对。

上面的 \(Y(s)\) 可以拆成两部分来看：

• 零输入响应（只有初始条件、没有输入）：\(\dfrac{1}{s^2+3s+2}\ \to\ e^{-t}-e^{-2t}\)；
• 零状态响应（初始条件为零、只有输入）：\(\dfrac{2}{s(s^2+3s+2)}\ \to\ 1-2e^{-t}+e^{-2t}\)。

两者相加正好是 \(1-e^{-t}\)。控制里分析系统时，通常只看零状态响应，因为它只和系统本身与输入有关。

例 2（零初始条件）　\(\ddot c+2\dot c+3c=\dot r+3r\)，\(r(t)=1(t)\)，所有初始条件为零，求 \(c(t)\)。

零初始条件下两边取拉氏变换：\((s^2+2s+3)C(s)=(s+3)R(s)\)，于是

这里顺手得到的 \(G(s)=C(s)/R(s)\)，只取决于方程左右两边的系数，和输入是什么无关，这就是下一章的主角传递函数。有了它，换任何输入都只要算 \(C(s)=G(s)R(s)\)。

本章小结

自测