基础 1
数学与电路基础
学完这一章你应该能
- 熟练地在代数形式和极坐标形式之间转换复数，知道「乘法 = 模相乘、辐角相加」；
- 看到 \(e^{-t/T}\)、\(e^{-\sigma t}\sin\omega t\) 就能想象出曲线的样子；
- 求二次方程的复数根，知道「方程的根决定运动模式」；
- 解简单的一阶线性微分方程；
- 会用分贝和对数坐标；
- 会用一阶泰勒展开做线性近似；
- 用「虚短、虚断」推导运放电路。
前置知识：高中数学，以及一点微积分（会求导和简单积分）。这一章是后面所有章节的工具，用到哪里会回头链接到这里。
先测一测
下面 5 道题都能很快做对的话，可以直接跳到拉普拉斯变换。做错了哪题，就去看对应的小节。
1. 把 \(z=-1-j\) 写成极坐标形式。（→ 1 节）
\(|z|=\sqrt2\approx1.414\)，辐角在第三象限：\(\angle z=-135^\circ\)。所以 \(z=1.414\angle-135^\circ\)。如果你写的是 45°，说明掉进了「只算 arctan(b/a)」的坑。
2. \(e^{-t/2}\) 衰减到初值的 5% 大约需要多久？（→ 2 节）
时间常数 \(T=2\) s，衰减到 5% 大约要 \(3T=6\) s。
3. 求 \(s^2+4s+13=0\) 的根。（→ 3 节）
\(s=\dfrac{-4\pm\sqrt{16-52}}{2}=-2\pm j3\)。
4. 幅值放大 100 倍是多少 dB？缩小到 1/2 呢？（→ 5 节）
\(20\lg100=40\) dB；\(20\lg0.5\approx-6\) dB。
5. 理想运放反相放大器，输入电阻 10 kΩ，反馈电阻 100 kΩ，放大倍数是多少？（→ 7 节）
\(-R_f/R_i=-10\)，即反相放大 10 倍。
1. 复数与复平面
控制理论里到处是复数：拉氏变换的变量 \(s=\sigma+j\omega\) 是复数，系统的极点、零点是复数，频率特性 \(G(j\omega)\) 也是复数。这一节是全书用得最多的数学工具。
代数形式与复平面
虚数单位 \(j\) 满足 \(j^2=-1\)（数学课上写作 \(i\)，工程里用 \(j\)，避免和电流 \(i\) 混淆）。复数写成
把实部当横坐标、虚部当纵坐标，每个复数就对应平面上的一个点，也可以看成从原点指向该点的向量。这个平面叫复平面，控制里叫 s 平面。
模、辐角与极坐标形式
- 模（长度）：\(|z|=r=\sqrt{a^2+b^2}\)
- 辐角（与正实轴的夹角）：\(\angle z=\theta\)，满足 \(\tan\theta=b/a\)
- 极坐标形式：\(z=r\angle\theta=r(\cos\theta+j\sin\theta)\)，反过来 \(a=r\cos\theta\)，\(b=r\sin\theta\)
易错点：辐角要看象限。\(\arctan(b/a)\) 只能给出 −90°～90° 之间的角。\(z=-1-j\) 和 \(z=1+j\) 的 \(b/a\) 都是 1，但前者在第三象限，辐角是 −135°（或 225°），不是 45°。编程时用 atan2(b, a)，它会自动处理象限。
欧拉公式与指数形式
由它还可以得到 \(\cos\theta=\dfrac{e^{j\theta}+e^{-j\theta}}{2}\)，\(\sin\theta=\dfrac{e^{j\theta}-e^{-j\theta}}{2j}\)，拉氏变换那一章会用到。
四则运算
- 加减用代数形式：实部加实部，虚部加虚部（就是向量相加）。
- 乘除用极坐标形式最方便：
$$|z_1z_2|=|z_1|\,|z_2|,\quad \angle(z_1z_2)=\angle z_1+\angle z_2;\qquad \left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|},\quad \angle\frac{z_1}{z_2}=\angle z_1-\angle z_2$$
- 共轭：\(\bar z=a-jb\)，关于实轴对称。\(z\bar z=|z|^2\)，分母有复数时，上下同乘分母的共轭就能把分母变成实数。
「乘法 = 模相乘、辐角相加」是整本笔记最重要的数学事实之一。频率特性 \(G(j\omega)=\dfrac{K}{(j\omega-p_1)(j\omega-p_2)}\) 的模等于 \(K\) 除以各因子的模，相角等于各因子相角之和取负。波特图能「叠加着画」、根轨迹的相角条件，都来自这一条。
例 1 计算 \(\dfrac{-1+j2}{4j}\)（拉氏变换那一章会遇到）。
分子：\(|-1+j2|=\sqrt5=2.236\)，在第二象限，辐角 \(180^\circ-\arctan2=116.57^\circ\)。分母：\(4j=4\angle90^\circ\)。所以
例 2 \(s\) 和 \(p\) 都是复数时，\(s-p\) 就是从 \(p\) 指向 \(s\) 的向量（上图右）：它的模是两点之间的距离，辐角是这个向量相对正实轴方向的角度。第4章的根轨迹就是在 s 平面上量这些向量的长度和角度。
2. 指数函数、正弦与时间常数
指数函数：衰减还是发散
\(e^{at}\)：\(a<0\) 时衰减到 0，\(a>0\) 时越来越大，\(a=0\) 时保持不变。控制里常写成 \(e^{-t/T}\)，\(T>0\) 叫时间常数。
| \(t\) | \(T\) | \(2T\) | \(3T\) | \(4T\) | \(5T\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(e^{-t/T}\)（剩下多少） | 36.8% | 13.5% | 5.0% | 1.8% | 0.7% |
| \(1-e^{-t/T}\)（完成多少） | 63.2% | 86.5% | 95.0% | 98.2% | 99.3% |
经验：过了 3～4 个时间常数，指数过程就基本结束了。这就是一阶系统调节时间 \(t_s=3T\sim4T\) 的来源。
正弦量
\(A\sin(\omega t+\varphi)\)：\(A\) 为幅值，\(\omega\) 为角频率（rad/s），\(\varphi\) 为初相位。角频率和频率 \(f\)（Hz）、周期 \(T_0\) 的关系：\(\omega=2\pi f=2\pi/T_0\)。\(\varphi>0\) 叫超前，\(\varphi<0\) 叫滞后。
合并公式（拉氏反变换时常用）：
例：\(\cos2t-0.5\sin2t\)：\(R=\sqrt{1+0.25}=1.118\)，\(\phi=\operatorname{atan2}(-0.5,1)=-26.57^\circ\)，所以等于 \(1.118\cos(2t+26.57^\circ)\)。
衰减振荡
\(e^{-\sigma t}\sin\omega t\)（\(\sigma>0\)）是一个振幅按 \(e^{-\sigma t}\) 缩小的正弦波：\(\pm e^{-\sigma t}\) 叫它的包络线。\(\sigma\) 决定衰减快慢，\(\omega\) 决定振荡快慢。后面会看到，它对应 s 平面上的一对复数 \(-\sigma\pm j\omega\)：实部管衰减，虚部管振荡。
3. 多项式与方程的根
二次方程与复数根
判别式 \(\Delta=b^2-4ac<0\) 时，根是一对共轭复数：\(s=-\dfrac{b}{2a}\pm j\dfrac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}\)。例：\(s^2+2s+5=0\Rightarrow s=-1\pm j2\)。
实系数多项式的复数根一定成对共轭出现，所以 s 平面上的极点图总是关于实轴对称。
根与因式
如果 \(s_1,\ldots,s_n\) 是 \(a_ns^n+\cdots+a_0=0\) 的根，那么多项式可以写成 \(a_n(s-s_1)(s-s_2)\cdots(s-s_n)\)。反过来，展开因式就得到系数，比如
根与系数的关系（韦达定理）：对首项系数为 1 的多项式 \(s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_0\)，所有根之和 \(=-a_{n-1}\)，所有根之积 \(=(-1)^na_0\)。第4章根轨迹的「根之和不变」就是这条。
三次以上的方程手算求根很难。控制理论的一大半内容（劳斯判据、根轨迹、频域法）都在回答：不解方程，怎样判断根在哪里。实际工作中求根直接用计算机，比如 Python 的 numpy.roots([1, 4, 3, 12])。
4. 微分方程初步
含有未知函数的导数的方程叫微分方程。控制里自变量是时间 \(t\)，常把 \(\dfrac{dy}{dt}\) 写成 \(\dot y\)，\(\dfrac{d^2y}{dt^2}\) 写成 \(\ddot y\)。本课程处理的几乎都是线性常系数微分方程：
解的结构：全解 = 齐次方程的通解（自由运动，由系统本身和初始条件决定）+ 一个特解（强迫运动，由输入决定）。
一阶例子：RC 充电
\(RC\dot u+u=U\)，\(u(0)=0\)（\(U\) 为常数）。
- 齐次方程 \(RC\dot u+u=0\) 的通解：\(u_h=Ce^{-t/RC}\)（代回去验证一下）；
- 特解：输入是常数，猜 \(u_p=\) 常数，代入得 \(u_p=U\)；
- 全解 \(u=U+Ce^{-t/RC}\)，由 \(u(0)=0\) 得 \(C=-U\)：
$$u(t)=U\left(1-e^{-t/RC}\right)$$
电容电压按时间常数 \(T=RC\) 指数上升，这就是第3章「一阶系统」的原型。
二阶齐次方程：特征方程
对 \(\ddot y+a_1\dot y+a_0y=0\)，设 \(y=e^{\lambda t}\) 代入，得到特征方程 \(\lambda^2+a_1\lambda+a_0=0\)。按根的情况：
| 特征根 | 通解 | 运动形式 |
|---|---|---|
| 两个不同实根 \(\lambda_1,\lambda_2\) | \(C_1e^{\lambda_1t}+C_2e^{\lambda_2t}\) | 两个指数的叠加 |
| 重根 \(\lambda\) | \((C_1+C_2t)e^{\lambda t}\) | 指数，带一个 \(t\) 因子 |
| 共轭复根 \(\sigma\pm j\omega\) | \(e^{\sigma t}(C_1\cos\omega t+C_2\sin\omega t)\) | 振荡，实部决定衰减或发散 |
例：\(\ddot y+3\dot y+2y=0\)，\(\lambda=-1,-2\)，\(y=C_1e^{-t}+C_2e^{-2t}\)；\(\ddot y+2\dot y+5y=0\)，\(\lambda=-1\pm j2\)，\(y=e^{-t}(C_1\cos2t+C_2\sin2t)\)。
特征根决定了系统的固有运动模式：实部为负就衰减，实部为正就发散，有虚部就振荡。后面的「极点」就是这些特征根，「稳定性」就是问「所有特征根的实部是否都为负」。拉氏变换会给出一套更系统、能带上初始条件和任意输入的解法。
5. 对数与分贝
\(\lg x=\log_{10}x\)。基本性质：\(\lg(ab)=\lg a+\lg b\)，\(\lg(a/b)=\lg a-\lg b\)，\(\lg a^n=n\lg a\)。几个要记的值：\(\lg1=0\)，\(\lg10=1\)，\(\lg2\approx0.301\)。
分贝：幅值比 \(A\) 用分贝表示为 \(L=20\lg A\) dB。
| 幅值比 \(A\) | 0.1 | 0.5 | 0.707 | 1 | 2 | 3.16 | 10 | 100 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 分贝 | −20 | −6 | −3 | 0 | 6 | 10 | 20 | 40 |
- 为什么用分贝：串联环节的幅值相乘，换成分贝就是相加；幅值从 0.001 到 1000 跨度很大，用分贝画图更清楚。
- 对数坐标：横轴上 0.1、1、10、100 之间是等距的。频率增大 10 倍叫一个十倍频程（dec），增大 2 倍叫一个倍频程（oct）。
- 斜率 −20 dB/dec 的意思是：频率每增大 10 倍，幅值变成原来的 1/10，即 \(A\propto1/\omega\)。−40 dB/dec 就是 \(A\propto1/\omega^2\)。
6. 泰勒展开与线性近似
在点 \(x_0\) 附近，光滑函数可以用它的切线近似：
例：\(\sin\theta\approx\theta\)（\(|\theta|<14^\circ\) 时误差小于 1%）；\(e^x\approx1+x\)。
控制里的用途：真实系统多少都有非线性，只要它在某个工作点附近小范围变化，就可以这样线性化，然后用线性理论分析（第2章）。例：水箱出水流量 \(Q=k\sqrt H\)，在液位 \(H_0\) 附近
系数 \(\dfrac{k}{2\sqrt{H_0}}\) 随工作点变化：液位越高，同样的液位变化引起的流量变化越小。
两个变量时：\(f(x,y)\approx f(x_0,y_0)+\dfrac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\dfrac{\partial f}{\partial y}\Delta y\)。
7. 电路基础：R、L、C 与运放
三种元件
| 元件 | 电压—电流关系 | 特点 | 复阻抗（第2章用） |
|---|---|---|---|
| 电阻 \(R\) | \(u=Ri\) | 没有记忆 | \(R\) |
| 电容 \(C\) | \(i=C\dfrac{du}{dt}\) | 电压不能突变，储存电场能 | \(\dfrac{1}{Cs}\) |
| 电感 \(L\) | \(u=L\dfrac{di}{dt}\) | 电流不能突变，储存磁场能 | \(Ls\) |
两条定律：KCL，流入一个节点的电流之和为零；KVL，沿任一回路的电压之和为零。两个电阻串联分压：\(u_{\text{out}}=\dfrac{R_2}{R_1+R_2}u_{\text{in}}\)。
理想运放的两条规则
运放接成负反馈时，可以用两条规则分析：
- 虚短：两个输入端电压相等，\(u_+=u_-\)；
- 虚断：输入端不取电流。
推导反相放大器：同相端接地，由虚短，反相端 A 点电压也为 0（叫虚地）。流过 \(R_i\) 的电流 \(i=u_i/R_i\)；由虚断，这个电流全部流过 \(R_f\)，所以 \(u_o=0-iR_f\)：
把反馈电阻换成电容（\(Z_f=\frac{1}{Cs}\)），就得到积分器 \(-\dfrac{1}{RCs}\)，即 \(u_o=-\dfrac{1}{RC}\int u_i\,dt\)。换不同的元件可以搭出各种典型环节，实验课的模拟实验箱就是这个原理（第2章 2.3 节）。
本章小结
- 复数：\(z=a+jb=r\angle\theta=re^{j\theta}\)；乘法模相乘、辐角相加；辐角要看象限；\(s-p\) 是从 \(p\) 指向 \(s\) 的向量。
- 指数：过 3～4 个时间常数基本结束；\(e^{-\sigma t}\sin\omega t\) 的实部管衰减，虚部管振荡。
- 方程的根决定运动模式；实系数方程的复根成对共轭；根之和等于 \(-a_{n-1}\)。
- 线性微分方程的解 = 自由运动 + 强迫运动；特征根就是后面的极点。
- 分贝 \(20\lg A\)：×10 是 +20 dB，×2 约 +6 dB，×0.707 约 −3 dB；−20 dB/dec 表示 \(A\propto1/\omega\)。
- 线性近似 \(\Delta y\approx f'(x_0)\Delta x\)，系数和工作点有关。
- 运放负反馈：虚短、虚断；反相电路 \(-Z_f/Z_i\)。
练习
1. 把 \(z=-2+j2\) 写成极坐标形式。
\(|z|=2\sqrt2\approx2.83\)，第二象限，\(\angle z=135^\circ\)，所以 \(z=2.83\angle135^\circ\)。
2. 计算 \(\dfrac{1+j}{1-j}\)。
极坐标：\(\dfrac{\sqrt2\angle45^\circ}{\sqrt2\angle-45^\circ}=1\angle90^\circ=j\)。或者上下同乘 \(1+j\)：\(\dfrac{(1+j)^2}{2}=\dfrac{2j}{2}=j\)。
3. 设 \(G(j\omega)=\dfrac{1}{j\omega(j\omega+1)}\)，求 \(\omega=1\) 时的模和相角。
\(|j|=1\)，\(|j+1|=\sqrt2\)，所以 \(|G|=\dfrac{1}{\sqrt2}\approx0.707\)。相角 \(=-(90^\circ+45^\circ)=-135^\circ\)。这就是第5章算频率特性的方法。
4. 解 \(\dot y+2y=4\)，\(y(0)=0\)。
齐次通解 \(Ce^{-2t}\)，特解 \(y_p=2\)，由初始条件 \(C=-2\)：\(y(t)=2(1-e^{-2t})\)。时间常数 0.5 s，约 1.5～2 s 后基本稳定在 2。
5. 方程 \(\ddot y+4\dot y+4y=0\) 的通解是什么？它会振荡吗？
特征方程 \(\lambda^2+4\lambda+4=0\)，重根 \(\lambda=-2\)，\(y=(C_1+C_2t)e^{-2t}\)。没有虚部，不振荡；这是第3章说的「临界阻尼」。
6. 一个环节在 ω=1 rad/s 时幅值为 20 dB，幅频斜率为 −20 dB/dec，ω=100 rad/s 时幅值是多少？
从 1 到 100 是两个十倍频程，下降 40 dB，所以是 −20 dB，即幅值比 0.1。
7. 在 \(x_0=1\) 附近线性化 \(y=x^3\)。
\(f'(1)=3\)，\(\Delta y\approx3\Delta x\)，即 \(y\approx1+3(x-1)\)。在 \(x=1.1\) 时近似值 1.3，精确值 1.331。
8. 运放反相电路，输入支路是电阻 \(R\)，反馈支路是电阻 \(R_f\) 与电容 \(C\) 并联，传递函数是什么？
\(Z_f=R_f\parallel\dfrac{1}{Cs}=\dfrac{R_f}{R_fCs+1}\)，所以 \(\dfrac{U_o}{U_i}=-\dfrac{R_f/R}{R_fCs+1}\)：增益 \(R_f/R\)、时间常数 \(R_fC\) 的惯性环节（带负号）。实验一里的一阶惯性环节就是这样搭的。