第12章
非线性与实际问题
学完这一章你应该能
- 认出实际系统中常见的非线性：饱和、死区、间隙、摩擦、继电、量化，知道它们会造成什么现象；
- 理解极限环，会分析开关式（继电）控制，知道回差的作用；
- 用描述函数法预测极限环的幅值和频率，理解继电反馈自整定的原理；
- 针对每种非线性选择工程上的对策；
- 理解增益调度：工作点变化很大时怎么办。
前置知识：第5章 奈氏判据、第9章 PID 工程实践（抗饱和、继电自整定）、第2章 线性化。
前面的理论都建立在「系统是线性的」这个前提上。真实系统没有严格线性的：电机电压有上限，齿轮有间隙，传感器有分辨率，阀门有死区。大多数时候线性化够用，但有些现象只能用非线性来解释：明明参数调得很稳，却在设定值附近一直小幅振荡；小信号时好好的，大幅改变设定值时就超调很大。这一章讲怎样认出它们、怎样对付它们。
12.1 常见的非线性
| 非线性 | 特性 | 在哪里出现 | 典型后果 |
|---|---|---|---|
| 饱和 | 输入大到一定程度，输出不再增加 | 电机电压/电流上限、阀门全开、加热功率 100% | 积分饱和、大信号时超调大、响应变慢 |
| 死区 | 输入很小时没有输出 | 阀门、液压、电机启动电压、某些驱动器 | 小误差消不掉；配合积分会引起来回振荡 |
| 间隙（回差） | 反向运动时要先走过一段空程 | 齿轮、丝杠、联轴器 | 位置控制在设定值附近来回「找」，产生极限环 |
| 摩擦 | 静摩擦大于动摩擦；低速时摩擦力突变 | 导轨、轴承、密封件 | 低速爬行（走走停停）、定位时来回振荡 |
| 继电（开关） | 输出只有开、关两种状态 | 温控器、继电器、电磁阀、开关电源 | 输出在设定值附近持续振荡 |
| 量化 | 信号只能取离散的值 | 编码器、ADC、DAC | 小幅抖动；对量化信号做差分得到的速度很「毛糙」 |
线性系统的性质（叠加原理、响应形状和输入幅值无关、稳定性只取决于系统本身）对这些系统都不再成立。例如有饱和的系统，小阶跃时超调 5%，大阶跃时可能超调 50%。
12.2 相平面与极限环
二阶系统的状态可以用一个点 \((x,\dot x)\) 表示，系统运动时这个点在平面上画出一条曲线，这个平面叫相平面。稳定的线性系统，所有曲线最后都收敛到原点；不稳定的则发散。
非线性系统可能出现第三种情况：曲线最后收敛到一条闭合曲线上，对应一个幅值和频率都固定的持续振荡，而且基本不受初始条件影响。这叫极限环。线性系统里的等幅振荡只是临界情况，参数稍微变化就会消失或发散；极限环却是稳定存在的。
实际中遇到的「怎么调都在设定值附近小幅振荡」，多半就是极限环，原因通常是死区、间隙、静摩擦或量化，而不是增益太大。
12.3 开关控制与回差
最简单的控制方式：温度低于设定值就开加热，高于就关。家里的电热水器、冰箱、空调温控器都是这样。它不需要调参数，但输出一定在设定值附近振荡（极限环）。
如果严格在设定值处切换，测量噪声会让继电器在设定值附近疯狂地来回开关，很快烧坏触点。所以要加回差（滞环）：低于 \(T_{set}-h\) 才开，高于 \(T_{set}+h\) 才关。
例 房间：时间常数 600 s，加热器全开时最终能比室外高 20 °C，加热有 30 s 延迟，室外 15 °C，设定 21 °C。仿真结果：
| 回差 | 温度范围 | 摆幅 | 开关周期 |
|---|---|---|---|
| 0 | 20.70～21.69 °C | 0.99 °C | 2.3 min |
| ±0.25 °C | 20.47～21.93 °C | 1.46 °C | 3.4 min |
| ±0.5 °C | 20.23～22.17 °C | 1.94 °C | 4.5 min |
| ±1 °C | 19.75～22.64 °C | 2.89 °C | 6.8 min |
- 回差越大，开关越少（继电器寿命长），但温度摆幅越大；
- 即使回差为 0，延迟也会让温度冲出设定值一段（这里最低低 0.3 °C、最高高 0.7 °C）。没有延迟、回差 ±0.5 时，温度正好在 20.5～21.5 °C 之间；
- 平均占空比约 30%，正好等于维持 21 °C 需要的平均功率 \((21-15)/20\)。
想要更平稳：改成连续控制，用 PI 算出 0～100% 的功率，再用时间比例输出（慢速 PWM）驱动继电器或固态继电器，例如每 2 s 为一个周期，PI 输出 30% 就开 0.6 s、关 1.4 s。只要周期远小于对象的时间常数，效果就和连续调节功率差不多。
12.4 描述函数法
怎样预测极限环的幅值和频率？描述函数法的思路：假设非线性环节的输入是正弦信号 \(A\sin\omega t\)，它的输出虽然不是正弦，但可以只保留基波（一次谐波），因为后面的线性部分通常是低通的，会把高次谐波滤掉。基波和输入的幅值比（复数）就叫描述函数 \(N(A)\)，它和幅值有关，和频率无关。
| 非线性 | 描述函数 \(N(A)\) |
|---|---|
| 理想继电器（输出 \(\pm M\)） | \(\dfrac{4M}{\pi A}\) |
| 饱和（线性段斜率 \(k\)，在 \(\pm a\) 处饱和），\(A>a\) | \(\dfrac{2k}{\pi}\left[\arcsin\dfrac aA+\dfrac aA\sqrt{1-\left(\dfrac aA\right)^2}\right]\) |
| 死区（宽度 \(\pm\delta\)，斜率 \(k\)），\(A>\delta\) | \(k-\dfrac{2k}{\pi}\left[\arcsin\dfrac\delta A+\dfrac\delta A\sqrt{1-\left(\dfrac\delta A\right)^2}\right]\) |
把非线性环节当成一个「增益随幅值变化」的环节 \(N(A)\)，套用奈氏判据：闭环特征方程 \(1+N(A)G(j\omega)=0\)，即
在奈氏图上画出 \(G(j\omega)\) 曲线和 \(-1/N(A)\) 曲线，两条曲线的交点就是可能的极限环：交点处的 \(\omega\) 是振荡频率，\(A\) 是振荡幅值。
例：继电器 + \(\dfrac{1}{(s+1)^3}\)。继电器的 \(-1/N(A)=-\dfrac{\pi A}{4M}\) 是负实轴。\(G(j\omega)\) 与负实轴的交点在 \(\omega=\sqrt3\)，此时 \(|G|=1/8\)，所以
仿真得到的幅值 0.163、周期 3.68 s，预测误差约 2%。反过来，测出振荡的幅值 \(a\)，就能算出线性部分在该频率处的增益：\(|G|=\dfrac{\pi a}{4M}\)，临界增益 \(K_u=\dfrac{1}{|G|}=\dfrac{4M}{\pi a}\)。这就是第9章继电反馈自整定的原理。
描述函数法是近似方法：线性部分的低通特性越好（阶数越高），预测越准。它也能分析饱和、死区、间隙引起的极限环，以及判断极限环是否稳定（曲线交点处，\(-1/N(A)\) 随 \(A\) 增大的方向是否从「被包围」走向「不被包围」）。
12.5 各种非线性的工程对策
| 问题 | 对策 |
|---|---|
| 饱和 | 抗积分饱和（第9章）；设定值斜坡，避免大阶跃；执行器选型留余量；状态反馈时极点不要放得太远 |
| 死区 | 死区补偿：控制量不为零时，直接加上死区宽度那么大的偏置；减弱积分，或在误差很小时停止积分（积分分离） |
| 间隙 | 机械上消隙（预紧、双齿轮）；电机端和负载端各装一个编码器（双反馈）；降低位置环增益；定位时总从同一个方向接近目标 |
| 摩擦 | 摩擦前馈：按速度方向加上库仑摩擦力 \(F_c\,\mathrm{sign}(v)\)，再加 \(bv\)；提高速度环增益；必要时加高频小幅抖动（dither） |
| 量化 | 提高分辨率；速度不要直接对编码器计数做差分，用测周法、滤波或观测器（第11章）估计；在设定值附近允许一个小误差带 |
| 继电输出 | 加回差；改成 PI + 时间比例输出 |
判断「小幅振荡是不是非线性引起的」：把增益减半，如果振荡幅度变化不大、周期变长，多半是死区、间隙、摩擦造成的极限环；如果振荡明显减弱或消失，才是增益太大（线性意义上的稳定裕度不足）。
12.6 增益调度
线性化模型的参数随工作点变化（第2章）。工作点变化范围很大时，一组 PID 参数可能在一个工作点很好、在另一个工作点振荡或太慢。增益调度：在几个典型工作点分别建模、整定，运行时按当前工作点（或一个能反映工作点的量）切换或插值参数。
例：水箱液位。出水流量 \(Q_{out}=k\sqrt H\)，水箱截面积 \(A_t\)。在液位 \(H_0\) 附近线性化：
液位越高，增益和时间常数都越大。用 SIMC 整定（假设延迟 \(L\)、目标时间常数 \(\tau_c\)）：\(K_p=\dfrac{\tau}{K(\tau_c+L)}=\dfrac{A_t}{\tau_c+L}\) 与液位无关，而 \(T_i=\min(\tau,4(\tau_c+L))\) 随液位变化。所以这个系统只需要按液位调度积分时间。
其他常见例子：飞机按速度和高度调度增益；机械臂按负载和姿态调度；电机按转速调度（弱磁区）。
本章小结
- 饱和、死区、间隙、摩擦、继电、量化是最常见的非线性；它们会造成极限环、大信号时性能变差等线性理论解释不了的现象。
- 极限环是稳定存在的自激振荡；开关控制一定有极限环，回差在开关次数和摆幅之间折中。
- 描述函数法：\(G(j\omega)=-1/N(A)\) 的交点给出极限环的频率和幅值；继电器 \(N(A)=4M/(\pi A)\)，这正是继电反馈自整定的原理。
- 每种非线性都有对应的工程对策；工作点变化大时用增益调度。
练习
1. 一台位置控制的机床，在目标位置附近一直以很小的幅度来回振荡，把 \(K_p\) 减半后振荡幅度几乎不变、只是变慢了。最可能的原因是什么？
间隙或静摩擦造成的极限环，而不是增益太大。可以检查机械间隙，加摩擦补偿，或者在误差很小时减弱积分作用。
2. 继电反馈测试：继电器输出 ±5（单位为控制量），输出振荡幅值 0.4，周期 12 s。估算临界增益和临界周期。
\(K_u=\dfrac{4\times5}{\pi\times0.4}\approx15.9\)，\(T_u=12\) s。
3. 一个只能开关的加热器，希望温度波动小于 ±0.3 °C，同时继电器每小时最多动作 60 次，可能做到吗？怎么做？
取决于对象的时间常数和延迟。本章例子里即使回差为 0，延迟本身就让摆幅接近 1 °C，开关控制做不到。可以改用 PI + 时间比例输出（比如 10 s 一个周期，每小时 360 次切换，对固态继电器没问题；机械继电器则要用更长的周期），或者减小加热功率（加热器功率越大，同样延迟下冲得越多）。
4. 为什么说「有饱和的系统，大阶跃和小阶跃的响应形状不同」？这和线性系统有什么区别？
小阶跃时控制量不会碰到限幅，系统按线性方式响应；大阶跃时控制量顶到限幅，相当于开环以最大能力推动，响应速度受限，积分还可能饱和，超调会大得多。线性系统满足叠加原理，响应形状与输入幅值无关，只是按比例放大。