根轨迹法

4.1 什么是根轨迹

第3章说过：闭环极点决定了系统稳不稳、快不快。可是闭环极点要解闭环特征方程，三阶以上手算很麻烦，而且增益 \(K\) 每变一次就要重解一次。

先看一个能直接算的例子

单位负反馈，\(G(s)=\dfrac{K}{s(s+2)}\)。闭环特征方程 \(s^2+2s+K=0\)，解得 \(s_{1,2}=-1\pm\sqrt{1-K}\)：

• \(K=0\)：\(s=0,\,-2\)，就是两个开环极点；
• \(0<K<1\)：两个负实根，从 0 和 −2 出发相向移动（过阻尼）；
• \(K=1\)：在 −1 处会合成重根（临界阻尼）；
• \(K>1\)：\(s=-1\pm j\sqrt{K-1}\)，沿着竖线 \(\sigma=-1\) 向上下分开（欠阻尼）。

从图上一眼能读出：① 无论 \(K\) 多大，极点都在左半平面，系统始终稳定；② \(K\) 越大，极点越往上下跑，阻尼比越小、超调越大；③ \(K>1\) 后极点实部恒为 −1，所以调节时间 \(t_s\approx4.4\) s 基本不变。这就是「看图说话」，后面的复杂系统也一样。

4.2 根轨迹方程：幅值条件与相角条件

闭环特征方程 \(1+G(s)H(s)=0\)，也就是

一个复数等于 −1，要求它的模为 1、辐角为 ±180°：

用复数的几何意义来读：\(s-p_j\) 是从极点 \(p_j\) 指向试验点 \(s\) 的向量。相角条件说的是「从各零点出发的向量角度之和，减去从各极点出发的向量角度之和，等于 ±180°」；幅值条件说的是「各极点到 \(s\) 的距离之积，除以各零点到 \(s\) 的距离之积，等于 \(K^*\)」。

• 相角条件里没有 \(K^*\)，所以相角条件决定根轨迹的形状：s 平面上所有满足相角条件的点，连起来就是根轨迹。
• 幅值条件用来算增益：轨迹上某一点对应的 \(K^*\) 是多少。

试一下：在竖线 \(\sigma=-1\) 上随便取一点，两个向量的角度之和都是 180°（几何上它们关于竖线对称），所以整条竖线都是根轨迹；离开这条竖线，相角和就不再是 180°。

\(K^*\) 是零极点形式里的根轨迹增益，和时间常数形式里的开环增益 \(K\) 差一个常数。例如 \(\dfrac{K^*}{s(s+1)(s+3)}=\dfrac{K^*/3}{s(s+1)(s/3+1)}\)，开环增益 \(K=K^*/3\)。画根轨迹用 \(K^*\)，算稳态误差用 \(K\)。

4.3 绘制根轨迹的基本法则

以下针对负反馈、\(K^*\) 从 0 变到 ∞ 的常规根轨迹（也叫 180° 根轨迹）。\(n\) 为开环极点数，\(m\) 为开环零点数。每条法则都可以从幅值条件和相角条件推出来。

1. 起点和终点：根轨迹起于开环极点（\(K^*=0\)），终于开环零点（\(K^*\to\infty\)）。\(n>m\) 时，有 \(n-m\) 条终于无穷远处。
   由幅值条件：\(K^*\to0\) 时 \(s\) 必须趋近某个极点，\(K^*\to\infty\) 时必须趋近某个零点或无穷远。
2. 分支数和对称性：分支数等于 \(n\)；根轨迹连续，且关于实轴对称（复根总是成对出现）。
3. 实轴上的根轨迹：实轴上某一段，如果它右边的开环零点和极点总数为奇数，这一段就是根轨迹。
   实轴上的试验点：左边的零极点贡献 0°，一对共轭零极点的贡献相互抵消，右边的每个零极点贡献 180°，所以要奇数个才能凑成 ±180°。
4. 渐近线：\(n-m\) 条趋向无穷远的分支沿渐近线走：
   $$\sigma_a=\frac{\sum p_j-\sum z_i}{n-m},\qquad \varphi_a=\frac{(2k+1)\pi}{n-m},\ k=0,1,\ldots,n-m-1$$
   \(n-m=1,2,3,4\) 时，渐近线角度分别为 180°；±90°；±60°、180°；±45°、±135°。
5. 分离点（会合点）：两条以上分支在实轴上相遇又分开的点 \(d\)，满足
   $$\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{d-p_j}=\sum_{i=1}^{m}\frac{1}{d-z_i}\qquad(\text{无零点时右边为 }0)$$
   或等价地 \(\dfrac{dK^*}{ds}=0\)。解出来的点要在根轨迹上才算数。两条分支的分离角为 ±90°。
6. 出射角和入射角：根轨迹离开复数极点 \(p_l\) 的角度（出射角）、进入复数零点 \(z_l\) 的角度（入射角）：
   $$\theta_{p_l}=(2k+1)\pi+\sum_{i}\angle(p_l-z_i)-\sum_{j\ne l}\angle(p_l-p_j),\qquad \varphi_{z_l}=(2k+1)\pi-\sum_{i\ne l}\angle(z_l-z_i)+\sum_{j}\angle(z_l-p_j)$$
   做法：在 \(p_l\) 旁边很近处取一个试验点，对它用相角条件，其他零极点到试验点的角度近似等于到 \(p_l\) 的角度。
7. 与虚轴的交点：令 \(s=j\omega\) 代入闭环特征方程，实部、虚部分别等于 0，解出 \(\omega\) 和对应的 \(K^*\)；也可以用劳斯表出现全零行的条件求。这个 \(K^*\) 就是临界增益。
8. 闭环极点之和：当 \(n-m\ge2\) 时，闭环极点之和等于开环极点之和，与 \(K^*\) 无关（根与系数的关系）。所以一些分支向左移时，另一些必然向右移。

例：有复数极点的系统（出射角）

\(G(s)=\dfrac{K(s+2)}{s^2+2s+2}\)：极点 \(-1\pm j\)，零点 −2。

• 实轴上：\((-\infty,-2]\) 右边只有零点 −2（一个），是根轨迹；\((-2,+\infty)\) 右边没有实数零极点，不是。
• 出射角（从 \(p_1=-1+j\) 出发）：\(\theta=180^\circ+\angle(p_1+2)-\angle(p_1-p_2)=180^\circ+\angle(1+j)-\angle(2j)=180^\circ+45^\circ-90^\circ=135^\circ\)。
• 会合点：\(\dfrac{1}{d+1-j}+\dfrac{1}{d+1+j}=\dfrac{1}{d+2}\Rightarrow d^2+4d+2=0\Rightarrow d=-2-\sqrt2\approx-3.41\)（另一个根 −0.59 不在根轨迹上），此时 \(K\approx4.83\)。
• \(n-m=1\)：一条分支终于零点 −2，另一条沿负实轴走向无穷远。

这个系统的复数根轨迹是一段以零点 −2 为圆心、半径 \(\sqrt2\) 的圆弧（拖动滑块可以看到红点始终和 −2 保持相同的距离）。一般地，「两个极点 + 一个零点」的根轨迹复数部分都是圆弧。

4.4 例题：三阶系统的根轨迹

作业 4-2　单位负反馈，开环传递函数 \(G(s)=\dfrac{K_1}{s(s+1)(s+3)}\)，绘出 \(K_1\) 从 0 变到 ∞ 时的根轨迹，并加以简要说明。

题目里的 \(K_1\) 写在零极点形式的分子上，所以它就是根轨迹增益 \(K^*\)，开环增益是 \(K_1/3\)。

1. 起点和终点：起于开环极点 \(0,\,-1,\,-3\)；没有开环零点，三条分支都终于无穷远。
2. 实轴上的根轨迹：\([-1,\,0]\) 和 \((-\infty,\,-3]\)。（例如 −0.5 右边只有极点 0，一个，奇数；−2 右边有 0 和 −1 两个，偶数，所以 \([-3,-1]\) 不是根轨迹。）
3. 渐近线：\(n-m=3\) 条，\(\sigma_a=\dfrac{0-1-3}{3}=-\dfrac43\)，\(\varphi_a=\pm60^\circ,\ 180^\circ\)。
4. 分离点：\(\dfrac1d+\dfrac1{d+1}+\dfrac1{d+3}=0\Rightarrow3d^2+8d+3=0\)，得 \(d=-0.451\) 或 \(d=-2.215\)。后者不在根轨迹上，舍去。由幅值条件，分离点处 \(K_1=|d|\,|d+1|\,|d+3|\approx0.631\)。
5. 与虚轴交点：特征方程 \(s^3+4s^2+3s+K_1=0\)，令 \(s=j\omega\)：
   $$\text{实部：}-4\omega^2+K_1=0,\qquad \text{虚部：}-\omega^3+3\omega=0\quad\Longrightarrow\quad\omega=\pm\sqrt3\ \text{rad/s},\ K_1=12$$
6. 验证（根之和）：开环极点之和为 −4。\(K_1=12\) 时两个闭环极点是 \(\pm j\sqrt3\)，第三个必然是 −4。验算：\((s+4)(s^2+3)=s^3+4s^2+3s+12\)，对。

用根轨迹选增益

如果希望主导极点的阻尼比 \(\xi=0.5\)（超调约 16%），就在 s 平面上从原点画一条与负实轴夹角 \(\beta=\arccos0.5=60^\circ\) 的射线，它和根轨迹的交点就是要找的主导极点。

设主导极点 \(s=\omega_n(-0.5\pm j0.866)\)，由根之和，第三个极点 \(s_3=-4+\omega_n\)。展开 \((s-s_3)(s^2+\omega_ns+\omega_n^2)\)，与 \(s^3+4s^2+3s+K_1\) 比较 \(s\) 的系数：\(4\omega_n=3\)，所以 \(\omega_n=0.75\)，\(s_3=-3.25\)，\(K_1=-s_3\omega_n^2\approx1.83\)。

主导极点 \(-0.375\pm j0.65\)，第三个极点的实部是它的 8.7 倍，主导极点近似成立。按二阶公式估算：\(\sigma\%\approx16\%\)，\(t_s\approx4.4/0.375\approx11.7\) s。在上面的组件里点「主导极点 ξ=0.5」，实测超调约 15.8%。

4.5 增加开环零点、极点的影响

增加开环零点：根轨迹向左弯，稳定性变好

给上面的系统加一个零点 \(s=-2\)：\(G(s)=\dfrac{K(s+2)}{s(s+1)(s+3)}\)。现在 \(n-m=2\)，渐近线变成 ±90°，与实轴交于 \(\sigma_a=\dfrac{-4-(-2)}{2}=-1\)。两条分支沿 \(\sigma=-1\) 的竖线走向无穷远，永远不会进入右半平面。

劳斯判据验证：特征方程 \(s^3+4s^2+(3+K)s+2K=0\)，\(s^1\) 行为 \(\dfrac{4(3+K)-2K}{4}=\dfrac{12+2K}{4}>0\)，对所有 \(K>0\) 都稳定。

增加开环极点：根轨迹向右弯，稳定性变差

4.1 节的 \(\dfrac{K}{s(s+2)}\) 对任何 \(K\) 都稳定。如果再加一个极点变成 \(\dfrac{K}{s(s+1)(s+2)}\)，渐近线变成 ±60°，根轨迹会穿过虚轴：特征方程 \(s^3+3s^2+2s+K=0\)，劳斯表 \(s^1\) 行为 \(\dfrac{6-K}{3}\)，所以 \(K>6\) 就不稳定了（交点 \(\pm j\sqrt2\)）。

积分环节就是加在原点的极点，所以 PID 的 I 作用会降低稳定性，这一点第6章会再提到。

偶极子：一对靠得很近的零点和极点，对根轨迹的形状几乎没有影响（相角互相抵消），但会改变低频增益。滞后校正就是利用这一点，在不影响动态性能的情况下减小稳态误差。

4.6 0° 根轨迹和参数根轨迹

0° 根轨迹

正反馈系统的特征方程是 \(1-G(s)H(s)=0\)，即 \(G(s)H(s)=+1\)。相角条件变成 \(\sum\angle(s-z_i)-\sum\angle(s-p_j)=2k\pi\)，所以叫 0° 根轨迹。负反馈但开环传递函数首项系数为负（某些非最小相位系统）时也会遇到。法则只需改三条：

• 实轴上：右边零极点总数为偶数（包括 0）的区段是根轨迹；
• 渐近线角度：\(\varphi_a=\dfrac{2k\pi}{n-m}\)；
• 出射角、入射角公式里的 \((2k+1)\pi\) 换成 \(2k\pi\)。

其余法则（起点终点、分离点、与虚轴交点、根之和）不变。

参数根轨迹：变化的不是增益

如果要看的是某个时间常数、反馈系数等参数 \(A\) 的影响，先把闭环特征方程整理成

其中 \(P(s)\)、\(Q(s)\) 不含 \(A\)。把 \(A\dfrac{P(s)}{Q(s)}\) 当成「等效开环传递函数」，照常画根轨迹即可。

例　第3章的测速反馈：对象 \(\dfrac{4}{s(s+1.2)}\) 加测速反馈 \(K_ts\)，闭环特征方程 \(s^2+1.2s+4+4K_ts=0\)，整理成

等效开环有一个零点 0 和一对极点 \(-0.6\pm j1.91\)。根轨迹是以原点为圆心、半径 2 的圆弧：\(K_t\) 增大，极点沿圆弧向左下移动，阻尼比增大，\(K_t=0.7\) 时到达 −2（\(\xi=1\)），之后一个向零点走、一个向左走。

本章小结

练习