第2章

控制系统的数学模型

学完这一章你应该能

  • 对机械、电路、电机等系统列出微分方程，必要时在工作点附近线性化；
  • 由微分方程写出传递函数，用复阻抗法直接写出电路的传递函数；
  • 认识 7 种典型环节，看到传递函数就能想到它的阶跃响应；
  • 化简框图（会移动比较点和引出点），熟记闭环传递函数公式；
  • 用梅逊公式求信号流图的总传递函数。

前置知识：拉普拉斯变换、电路与运放基础、线性近似。

分析和设计控制系统之前，先要把它写成数学式子。同一个系统有几种等价的描述：微分方程（时域）→ 传递函数（s 域）→ 框图 / 信号流图（把传递函数画成图）。第5章还会讲频率特性，第11章会讲状态空间。

2.1 微分方程：从物理定律出发

建模步骤：

  1. 确定输入量和输出量；
  2. 按物理定律（牛顿定律、基尔霍夫定律、能量守恒等）列出各部分的方程；
  3. 消去中间变量，只留下输入、输出及其导数；
  4. 整理成标准形式：输出及其各阶导数放左边，输入放右边，按降阶排列。

例 1　弹簧—质量—阻尼系统

质量为 \(m\) 的物体受外力 \(F\)（输入）作用，产生位移 \(y\)（输出）。对物体做受力分析：弹簧拉力 \(F_s=ky\)（与位移成正比），阻尼器阻力 \(F_f=f\dot y\)（与速度成正比），方向都与运动方向相反。由牛顿第二定律：

$$m\ddot y=F-ky-f\dot y\qquad\Longrightarrow\qquad m\ddot y+f\dot y+ky=F$$

\(k\)：弹簧系数；\(f\)：粘滞摩擦系数。汽车悬架、精密仪器的减振台都是这个模型。

例 2　RC 电路

输入电压 \(u_i\) 经电阻 \(R\) 给电容 \(C\) 充电，输出是电容电压 \(u_o\)。电流 \(i=C\dot u_o\)，由 KVL \(u_i=Ri+u_o\)，消去 \(i\)：

$$RC\dot u_o+u_o=u_i$$

例 3　直流电机（实际项目里最常见的被控对象）

输入是电枢电压 \(u\)，输出是转速 \(\omega\)。电机里有两个相互耦合的部分：

零初始条件下取拉氏变换（先令 \(T_L=0\)）：\((Ls+R)I=U-K_e\Omega\)，\((Js+b)\Omega=K_tI\)。消去 \(I\)：

$$\frac{\Omega(s)}{U(s)}=\frac{K_t}{(Ls+R)(Js+b)+K_tK_e}$$

小电机的电感通常很小，忽略 \(L\) 后就是一个一阶惯性环节：

$$\frac{\Omega(s)}{U(s)}\approx\frac{K}{\tau s+1},\qquad K=\frac{K_t}{Rb+K_tK_e},\quad \tau=\frac{RJ}{Rb+K_tK_e}$$

如果输出取转角 \(\theta\)（\(\omega=\dot\theta\)），再多一个积分：\(\dfrac{\Theta(s)}{U(s)}=\dfrac{K}{s(\tau s+1)}\)。这就是位置伺服系统的经典模型，第13章的电机案例会用到。

三个系统物理上完全不同，方程形式却很像。这叫相似系统。控制理论只关心方程的形式，所以一套方法可以用在机械、电路、热力、化工、经济等各种系统上。

非线性模型的线性化

实际系统多少都有非线性。只要系统在某个工作点附近小范围变化，就可以用一阶泰勒展开把它线性化：

  1. 确定工作点 \((x_0,y_0)\)（通常是系统正常运行时的稳态）；
  2. 在工作点处求导，得到 \(\Delta y\approx\left.\dfrac{df}{dx}\right|_{x_0}\Delta x\)；
  3. 用增量 \(\Delta x\)、\(\Delta y\) 代替原变量列方程。

例　单摆：\(ml\ddot\theta+mg\sin\theta=0\)。在 \(\theta_0=0\) 附近 \(\sin\theta\approx\theta\)，得到线性方程 \(\ddot\theta+\dfrac gl\theta=0\)，固有频率 \(\sqrt{g/l}\)。倒立摆在 \(\theta_0=\pi\)（竖直向上）附近线性化，\(\sin\theta\approx-(\theta-\pi)\)，方程的符号变了，特征根中有一个正实根，说明它本身不稳定，需要控制才能立住（第13章）。

注意点：

2.2 传递函数

定义：线性定常系统在零初始条件下，输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比：

$$G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{b_0s^m+b_1s^{m-1}+\cdots+b_m}{a_0s^n+a_1s^{n-1}+\cdots+a_n},\qquad n\ge m$$

由微分方程写传递函数：零初始条件下把 \(\dfrac{d^k}{dt^k}\) 换成 \(s^k\)，左边的多项式做分母，右边的做分子。例如：

性质

两种常用写法：

$$\underbrace{G(s)=K^*\frac{\prod_{i=1}^{m}(s-z_i)}{\prod_{j=1}^{n}(s-p_j)}}_{\text{零极点形式}}\qquad\qquad \underbrace{G(s)=\frac{K\prod(\tau_is+1)}{s^\nu\prod(T_js+1)}}_{\text{时间常数形式}}$$

例　\(G(s)=\dfrac{10(s+2)}{s(s+1)(s+5)}\)：零点 −2，极点 0、−1、−5；时间常数形式 \(\dfrac{4(0.5s+1)}{s(s+1)(0.2s+1)}\)，所以 \(K^*=10\)，开环增益 \(K=10\times2/5=4\)，\(\nu=1\)。

2.3 复阻抗法：直接写出电路的传递函数

把元件换成复阻抗（电阻 \(R\)，电容 \(\frac{1}{Cs}\)，电感 \(Ls\)），电路就可以像纯电阻电路一样用分压、串并联公式计算，不用列微分方程。

例 A　RC 网络（\(R_1\) 与 \(C\) 并联后，再与 \(R_2\) 串联，输出取 \(R_2\) 上的电压）

$$Z=R_1\parallel\frac{1}{Cs}=\frac{R_1}{1+R_1Cs},\qquad G(s)=\frac{U_2(s)}{U_1(s)}=\frac{R_2}{R_2+Z}=\frac{R_2(R_1Cs+1)}{R_1R_2Cs+R_1+R_2}$$

这其实就是一个超前网络（第6章）。

例 B　两级 RC 网络（负载效应）

\(R_1\)、\(C_1\) 组成第一级（中间节点 A），\(R_2\)、\(C_2\) 组成第二级，输入 \(u_1\)，输出 \(u_2\)。

$$\frac{U_2(s)}{U_A(s)}=\frac{1}{R_2C_2s+1},\qquad \frac{U_A(s)}{U_1(s)}=\frac{R_2C_2s+1}{R_1R_2C_1C_2s^2+(R_1C_1+R_2C_2+R_1C_2)s+1}$$ $$G(s)=\frac{U_2(s)}{U_A(s)}\cdot\frac{U_A(s)}{U_1(s)}=\frac{1}{R_1R_2C_1C_2s^2+(R_1C_1+R_2C_2+R_1C_2)s+1}$$

易错点：负载效应。\(G(s)\ne\dfrac{1}{R_1C_1s+1}\cdot\dfrac{1}{R_2C_2s+1}\)，多出来的 \(R_1C_2\) 项就是负载效应：第二级从第一级取电流，改变了第一级的特性。只有两级之间加了隔离（比如运放跟随器），传递函数才能直接相乘。

例 C　运放电路：比例微分（PD）控制器

反相运放 \(G(s)=-\dfrac{Z_f}{Z_i}\)（推导见数学基础 7 节）。输入支路为 \(R_1\parallel C\)，反馈支路为 \(R_2\)：

$$Z_1=\frac{R_1}{R_1Cs+1},\quad Z_2=R_2,\qquad G(s)=-\frac{Z_2}{Z_1}=-\frac{R_2}{R_1}(R_1Cs+1)$$

2.4 典型环节

再复杂的传递函数，因式分解后都是下面这几种环节的乘积。看到环节就能想到它的阶跃响应，后面读波特图、分析系统会快很多。

环节传递函数单位阶跃响应例子
比例\(K\)立即跳到 \(K\)放大器、杠杆、齿轮
惯性（一阶）\(\dfrac{1}{Ts+1}\)\(1-e^{-t/T}\)，指数上升，无超调RC 电路、电机转速、温度
积分\(\dfrac{1}{Ts}\)\(t/T\)，斜坡一直上升水箱（流量→液位）、电机（转速→转角）
理想微分\(\tau s\)脉冲 \(\tau\delta(t)\)测速发电机（转角→电压）
一阶微分\(\tau s+1\)脉冲 + 阶跃PD 控制器
振荡（二阶）\(\dfrac{\omega_n^2}{s^2+2\xi\omega_ns+\omega_n^2}\)，\(0<\xi<1\)衰减振荡（第3章详细讲）弹簧质量系统、RLC 电路
延迟\(e^{-\tau s}\)推迟 \(\tau\) 秒的阶跃皮带输送、管道传输、通信延迟

用运放实现：反馈支路和输入支路取不同元件，比例（\(R_f/R_i\)）、积分（反馈接电容）、惯性（反馈接 \(R\parallel C\)）、PD（输入接 \(R\parallel C\)）都能搭出来。

实验：典型环节的阶跃响应

用运放模拟各环节，输入 1 V 阶跃，记录输出（反相电路，输出为负）。一阶惯性环节 \(K_p=R_f/R_i\)，\(T=R_fC_f\)：

思考题：一阶惯性环节在什么条件下可视为积分环节？什么条件下可视为比例环节？

\(G(s)=\dfrac{K}{Ts+1}\)。当 \(|Ts|\gg1\)（时间很短、频率很高，或者 \(T\) 很大）时 \(G(s)\approx\dfrac{K}{Ts}\)，可视为积分环节；当 \(|Ts|\ll1\)（时间很长、频率很低，或者 \(T\) 很小）时 \(G(s)\approx K\)，可视为比例环节。从阶跃响应看：开头一段 \(1-e^{-t/T}\approx t/T\) 是斜坡，很久以后趋于常数 \(K\)。

思考题：设计一个实现 \(e=e_1+e_2+e_3\) 的实用加法器。

三路输入各经一个阻值为 \(R\) 的电阻接到运放反相端，反馈电阻也取 \(R\)，输出为 \(-(e_1+e_2+e_3)\)；再接一级增益为 −1 的反相器，就得到 \(e_1+e_2+e_3\)。同相端经平衡电阻接地。

2.5 结构图（框图）及其化简

框图由四种元素组成：方框（里面写传递函数，输出 = 传递函数 × 输入）、信号线（带箭头）、比较点（也叫综合点，⊗，把几个信号相加减）、引出点（一个信号分成几路，值不变）。

三种基本连接

连接方式等效传递函数
串联\(G_1(s)G_2(s)\)
并联\(G_1(s)\pm G_2(s)\)
反馈（负反馈）\(\dfrac{G(s)}{1+G(s)H(s)}\)；正反馈时分母为 \(1-G(s)H(s)\)

反馈连接（请记住）

R(s) +− E(s) G(s) C(s) H(s) B(s)

开环传递函数　\(\dfrac{B(s)}{E(s)}=G(s)H(s)\)　（在比较点处把反馈断开，信号绕一圈的传递函数）

闭环传递函数

$$\Phi(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}=\frac{\text{前向通道传递函数}}{1+\text{开环传递函数}}$$

误差传递函数　\(\Phi_e(s)=\dfrac{E(s)}{R(s)}=\dfrac{1}{1+G(s)H(s)}\)

推导只要两行：\(C=GE\)，\(E=R-HC\)，消去 \(E\) 即得。

有扰动时：扰动 \(N(s)\) 加在 \(G_1\) 和 \(G_2\) 之间（前向通道为 \(G_1G_2\)，反馈为 \(H\)），由叠加原理：

$$C(s)=\frac{G_1G_2}{1+G_1G_2H}R(s)+\frac{G_2}{1+G_1G_2H}N(s)$$

所有闭环传递函数的分母都相同，都是 \(1+\)开环传递函数。所以闭环特征方程 \(1+G(s)H(s)=0\) 决定了系统的稳定性和动态特性的「底色」，与输入加在哪里无关；输入的位置只影响分子。

等效变换规则

变换按等效原理进行：对框图任一部分变换时，变换前后该部分的输入输出关系保持不变。

操作规则（以方框 \(G\) 为参照）为什么
比较点从 \(G\) 的输入端移到输出端被移动的那路信号要先乘 \(G\)原来它也要经过 \(G\)
比较点从 \(G\) 的输出端移到输入端被移动的那路信号要先乘 \(1/G\)移过去后它会多经过一次 \(G\)
引出点从 \(G\) 的输入端移到输出端引出支路乘 \(1/G\)引出的信号多经过了一次 \(G\)，要除回去
引出点从 \(G\) 的输出端移到输入端引出支路乘 \(G\)引出的信号少经过了一次 \(G\)，要补上
相邻的比较点可以互换位置、合并加法交换律
相邻的引出点可以互换位置同一个信号
比较点和引出点之间一般不能直接交换引出的信号会变

化简思路：先通过移动比较点和引出点，把交叉的回路解开，然后从最里层的回路开始，逐个用串联、并联、反馈公式合并。

例 2-8　直接合并

R(s) G₂(s) +− G₁(s) ++− G₃(s) C(s) H₁(s)

解：① \(G_3\) 与 \(H_1\) 组成内环，化简为 \(\dfrac{G_3}{1+G_3H_1}\)。② 第二个比较点的输入是 \(G_1(R-C)+G_2R\)，于是

$$C=\frac{G_3}{1+G_3H_1}\big[G_1(R-C)+G_2R\big]\quad\Longrightarrow\quad \frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G_3(G_1+G_2)}{1+G_1G_3+G_3H_1}$$

例 2-9　需要移动引出点

R +− +− G₁ +− G₂ G₃ C H₁ H₂

\(H_1\) 回路（从输出回到 \(G_2\) 前面）和 \(H_2\) 回路（从 \(G_2\) 后面回到 \(G_1\) 前面）互相交叉，不能直接合并。

  1. 把 \(H_2\) 的引出点从 \(G_3\) 的输入端移到输出端：引出支路乘 \(1/G_3\)，变成从 \(C\) 引出、传递函数为 \(H_2/G_3\) 的反馈。现在回路不再交叉。
  2. 合并内环：\(G_2G_3\) 与 \(H_1\) 组成负反馈，\(\dfrac{G_2G_3}{1+G_2G_3H_1}\)。
  3. 合并两路反馈：前两个比较点相邻，可以合并成一个，反馈支路 \(1\) 和 \(H_2/G_3\) 并联，等效为 \(1+\dfrac{H_2}{G_3}\)。
  4. 最外层反馈：
    $$\frac{C}{R}=\frac{G_1\cdot\frac{G_2G_3}{1+G_2G_3H_1}}{1+G_1\cdot\frac{G_2G_3}{1+G_2G_3H_1}\left(1+\frac{H_2}{G_3}\right)}=\frac{G_1G_2G_3}{1+G_2G_3H_1+G_1G_2H_2+G_1G_2G_3}$$

2.6 信号流图与梅逊公式

信号流图是框图的另一种画法：节点代表信号，有向支路上标传递函数（支路增益）。它的好处是可以不化简，直接用梅逊公式写出结果，特别适合回路多、交叉多的系统。框图可以直接套用梅逊公式：把每个信号当成一个节点即可。

术语：源节点（输入）、汇节点（输出）；前向通道：从源到汇、每个节点只经过一次的通路；回路：起点和终点是同一节点、其他节点只经过一次的闭合通路；不接触回路：没有任何公共节点的回路。

梅逊公式：从源节点到汇节点的总传递函数

$$T=\frac1\Delta\sum_{k=1}^{n}P_k\Delta_k,\qquad \Delta=1-\sum L_a+\sum L_bL_c-\sum L_dL_eL_f+\cdots$$
  • \(P_k\)：第 \(k\) 条前向通道的增益（支路增益之积）；
  • \(\Delta\)：特征式。\(\sum L_a\) 为所有回路增益之和；\(\sum L_bL_c\) 为所有两两互不接触回路增益乘积之和；\(\sum L_dL_eL_f\) 为所有三个互不接触回路乘积之和；正负交替；
  • \(\Delta_k\)：余因子，把 \(\Delta\) 中与第 \(k\) 条前向通道接触的回路去掉后剩下的部分。

回路增益要带上比较点的符号：负反馈回路的增益是负的。

例：用梅逊公式重做例 2-8 和例 2-9

例 2-8：回路 \(L_1=-G_1G_3\)（外环），\(L_2=-G_3H_1\)；两个都经过 \(G_3\)，互相接触，\(\Delta=1+G_1G_3+G_3H_1\)。前向通道 \(P_1=G_1G_3\)、\(P_2=G_2G_3\)，都与两个回路接触，\(\Delta_1=\Delta_2=1\)。所以 \(T=\dfrac{G_1G_3+G_2G_3}{1+G_1G_3+G_3H_1}\)，与框图化简一致。

例 2-9：三个回路 \(-G_2G_3H_1\)、\(-G_1G_2H_2\)、\(-G_1G_2G_3\) 都经过 \(G_2\)，互相接触；唯一的前向通道 \(G_1G_2G_3\) 与它们都接触。直接得到 \(T=\dfrac{G_1G_2G_3}{1+G_2G_3H_1+G_1G_2H_2+G_1G_2G_3}\)，比移动引出点快得多。

例：有不接触回路和两条前向通道

R +− G₁ ++− G₂ C H₁ H₂ G₃
$$T=\frac{G_1G_2+G_2G_3(1+G_1H_1)}{(1+G_1H_1)(1+G_2H_2)}$$

用框图验证：第二个比较点的输入是 \(\dfrac{G_1}{1+G_1H_1}R+G_3R\)，再经过 \(\dfrac{G_2}{1+G_2H_2}\)，结果相同。

常见错误

  • 回路增益漏掉负号（负反馈回路的增益是负的）；
  • 把相互接触的回路当成不接触的，或者反过来（看它们有没有公共节点，包括比较点）；
  • 求 \(\Delta_k\) 时忘了去掉与第 \(k\) 条通道接触的回路；
  • 框图变换时，把比较点和引出点直接互换。

本章小结

  • 建模：按物理定律列方程、消去中间变量；非线性系统在工作点附近线性化，得到增量方程。
  • 传递函数：零初始条件下输出与输入拉氏变换之比；只取决于系统本身；零点、极点、开环增益 \(K\)、型别 \(\nu\)。
  • 电路用复阻抗法；运放反相电路 \(-Z_f/Z_i\)；串联的无源网络有负载效应。
  • 7 种典型环节：比例、惯性、积分、微分、一阶微分、振荡、延迟。
  • 闭环传递函数 \(\dfrac{G}{1+GH}\)；所有闭环传递函数的分母都是 \(1+GH\)。
  • 框图化简：移动比较点/引出点解开交叉回路，再由内向外合并；或者直接用梅逊公式。

练习

1. 写出 RC 低通电路（输入 \(u_i\)，输出为电容电压）的传递函数，它属于哪种典型环节？

分压：\(G(s)=\dfrac{1/(Cs)}{R+1/(Cs)}=\dfrac{1}{RCs+1}\)，是惯性环节，时间常数 \(T=RC\)。

2. 单位负反馈，\(G(s)=\dfrac{K}{s(s+2)}\)，写出闭环传递函数和闭环特征方程。

\(\Phi(s)=\dfrac{K}{s^2+2s+K}\)，特征方程 \(s^2+2s+K=0\)。这是标准二阶系统，\(\omega_n=\sqrt K\)，\(\xi=1/\sqrt K\)，第3章会用到。

3. \(G(s)=\dfrac{20(s+1)}{s^2(s+4)(s+10)}\)，求零点、极点、根轨迹增益 \(K^*\)、开环增益 \(K\) 和型别 \(\nu\)。

零点 −1；极点 0（二重）、−4、−10。\(K^*=20\)；时间常数形式 \(\dfrac{20}{40}\cdot\dfrac{(s+1)}{s^2(0.25s+1)(0.1s+1)}\)，所以 \(K=0.5\)，\(\nu=2\)（II 型）。

4. 反馈连接中，若 \(H(s)=1\)（单位反馈）且 \(G(s)\) 很大，闭环传递函数近似为多少？这说明了什么？

\(\Phi=\dfrac{G}{1+G}\approx1\)。只要前向增益足够大，闭环输出就几乎等于输入，而且对 \(G\) 本身的变化（元件老化、参数不准）不敏感。这是反馈的核心好处；代价是增益大了可能不稳定。

5. 用梅逊公式求：前向通道 \(G_1G_2G_3\)，\(G_2\) 有局部负反馈 \(H_1\)，输出 \(C\) 到输入有单位负反馈。

回路 \(L_1=-G_2H_1\)，\(L_2=-G_1G_2G_3\)，两者都经过 \(G_2\)，接触。\(\Delta=1+G_2H_1+G_1G_2G_3\)，\(P_1=G_1G_2G_3\)，\(\Delta_1=1\)。\(T=\dfrac{G_1G_2G_3}{1+G_2H_1+G_1G_2G_3}\)。

6. 直流电机 \(\dfrac{\Omega}{U}\approx\dfrac{K}{\tau s+1}\)。给它加 12 V 电压，最终转速是多少？大约多久达到？

稳态转速 \(12K\) rad/s（终值定理，或令 \(s=0\)）；大约 \(3\tau\sim4\tau\) 后达到。实际小电机的 \(\tau\) 一般在几毫秒到几百毫秒。