控制系统的校正与 PID

6.1 为什么要校正

前几章一直在用同一个系统 \(\dfrac{K}{s(s+1)(s+3)}\)。如果只调增益 \(K\)：

• 想让稳态误差小（\(K\) 大），相位裕度就变小：\(K=4\) 时 \(\gamma\approx30^\circ\)，超调已经 42%；\(K=6\) 时 \(\gamma\approx18^\circ\)，超调 59%；\(K\ge12\) 直接失稳；
• 想让超调小（\(K\) 小），系统又慢、稳态误差又大。

「稳、快、准」在这里互相打架。增益只能把波特图整体上下平移，要同时满足几项指标，就得改变开环频率特性的形状：在系统里加一个专门设计的环节 \(G_c(s)\)，这叫校正。按三频段的思路：低频段要高（准），中频段以 −20 dB/dec 穿越并且够宽（稳、快），高频段要低（抗噪声）。

6.2 串联超前校正

零点 \(-1/T\) 比极点 \(-1/(\alpha T)\) 更靠近原点，所以相角为正（超前）。有的教材写成 \(\dfrac{1+aTs}{1+Ts}\)（\(a>1\)），是同一个东西。

最大超前角的推导：\(\varphi_c(\omega)=\arctan\omega T-\arctan\alpha\omega T\)。令 \(\dfrac{d\varphi_c}{d\omega}=0\)，得 \(\omega_m=\dfrac{1}{T\sqrt\alpha}\)（两个转折频率 \(1/T\) 和 \(1/(\alpha T)\) 的几何中点）。代回去，\(\tan\varphi_m=\dfrac{1-\alpha}{2\sqrt\alpha}\)，换成正弦更好记：

作用：在截止频率附近补上一段正相角，相位裕度变大 → 超调减小；同时它抬高了中高频的幅值，截止频率右移，响应变快。代价：高频增益变大，对噪声更敏感。从根轨迹看，它加了一对零极点，零点更靠近原点、起主要作用，所以根轨迹向左弯。

设计步骤（频域法）

1. 按稳态误差要求定开环增益 \(K\)；
2. 画出校正前的波特图，求出 \(\gamma_0\)；
3. 需要的超前角 \(\varphi_m=\gamma^*-\gamma_0+\Delta\)，\(\Delta\) 补偿截止频率右移后多出的相位滞后，一般取 5°～12°（原系统相角下降很快时要取得更大）；
4. 由 \(\sin\varphi_m=\dfrac{1-\alpha}{1+\alpha}\) 求 \(\alpha\)；
5. 在校正前的幅频曲线上找 \(L_0(\omega)=-10\lg\dfrac1\alpha\) 的频率，把它作为新的截止频率 \(\omega_c=\omega_m\)（这样校正后正好在最大超前角处穿越 0 dB）；
6. \(T=\dfrac{1}{\omega_m\sqrt\alpha}\)，写出 \(G_c(s)\)，验算 \(\gamma\)，不满足就加大 \(\Delta\) 重来。

例：把 \(K=4\) 的系统校正到 \(\gamma\ge50^\circ\)

校正前 \(\gamma_0=29.8^\circ\)，需要补 20° 以上。这个系统的相频曲线在 \(\omega_c\) 右边下降很快（高频段斜率 −60 dB/dec），截止频率右移后相位损失比较大：按 \(\varphi_m=30^\circ\) 设计只得到 \(\gamma=44^\circ\)，按 40° 得到 48.6°，最后取 \(\varphi_m=45^\circ\)：

超调减小、速度加快，稳态误差不变（\(G_c(0)=1\)，开环增益没变）。这就是超前校正的典型效果。

实验：超前校正

用运放搭超前校正装置（输入支路为 \(R_1\parallel(R_2+\frac{1}{Cs})\)，反馈电阻 \(R_4\)），推导传递函数（反相电路，略去负号）：

被校正对象是实验二中的二阶系统 [3]（\(\omega_n=1\)，\(\xi=0.2\)）。校正前峰值 1.43 V、\(t_p\approx3.3\) s；校正后峰值约 1.3 V、\(t_p\approx2.8\) s。超调减小，响应变快，与理论一致。

6.3 串联滞后校正

极点比零点更靠近原点，相角为负（滞后），高频幅值衰减 \(20\lg b\) dB，低频增益不变。

设计步骤

1. 按稳态误差要求定开环增益 \(K\)；
2. 在校正前的相频曲线上，找到 \(\varphi_0(\omega)=-180^\circ+\gamma^*+(5^\circ\sim12^\circ)\) 的频率，作为新的截止频率 \(\omega_c'\)；
3. 读出原系统在 \(\omega_c'\) 处的幅值 \(L_0(\omega_c')\)，令 \(20\lg b=-L_0(\omega_c')\)，求出 \(b\)；
4. 取 \(\dfrac{1}{bT}=\dfrac{\omega_c'}{10}\)，求出 \(T\)；
5. 验算 \(\gamma\)。

例：要求速度误差系数 \(K_v=2\)，相位裕度 \(\ge45^\circ\)

系统 \(\dfrac{K}{s(s+1)(s+3)}\)，\(K_v=K/3=2\Rightarrow K=6\)。校正前 \(\gamma_0=18.3^\circ\)，超调约 59%，不满足要求。

1. 目标相角 \(-180^\circ+45^\circ+8^\circ=-127^\circ\)：解 \(-90^\circ-\arctan\omega-\arctan\frac\omega3=-127^\circ\)，得 \(\omega_c'=0.515\) rad/s；
2. 原系统在 \(0.515\) rad/s 处 \(|L_0|=3.40\)（10.6 dB），所以 \(b=1/3.40=0.294\)；
3. \(bT=10/\omega_c'=19.4\) s，\(T=19.4/0.294\approx66\) s：
   $$G_c(s)=\frac{19.4s+1}{66s+1}$$
4. 验算：校正后 \(\gamma=48.9^\circ\)，幅值裕度 16.2 dB，\(K_v=2\) 不变。

超调大幅减小，稳态精度保住了，代价是变慢：截止频率降到不到一半，而且滞后网络的零极点很靠近原点（一个偶极子），阶跃响应后面有一段缓慢「爬」到稳态值的尾巴，调节时间并没有缩短。这是滞后校正的典型特点。

超前与滞后的对比

两者结合就是滞后—超前校正：超前部分改善动态性能，滞后部分改善稳态精度。PID 可以看成它的一种特例。

6.4 PID 控制

两种写法的关系：\(K_i=K_p/T_i\)，\(K_d=K_pT_d\)。app.py 用的是左边这种「并联」形式。PID 不需要对象的精确模型，结构简单、物理意义清楚，工业控制回路里 90% 以上用的都是它（或者 PI）。

真正把 PID 用在项目里，还要处理积分饱和、微分噪声、采样周期、设定值突变、执行器限幅等问题，这些在第9章 PID 工程实践里详细讲。

6.5 参数整定

试凑法（先 P，后 I，再 D）：

1. \(K_i=K_d=0\)，从小到大增大 \(K_p\)，直到响应较快、略有超调；
2. 加入积分消除稳态误差：\(K_i\) 从小往大调，同时把 \(K_p\) 稍微减小一些；
3. 超调太大或振荡时加微分，\(K_d\) 从小往大调。

Ziegler–Nichols 临界比例度法：只用 P 控制，增大 \(K_p\) 直到输出等幅振荡，记下临界增益 \(K_u\) 和振荡周期 \(T_u\)，然后查表：

临界增益不一定要做实验去找，前面几章的方法都能算出来：劳斯表出现全零行、根轨迹与虚轴相交、幅值裕度为 0 dB，说的都是同一件事。实验三测到的 \(K_c=9.58\) 就是这里的 \(K_u\)。

例　对象 \(\dfrac{1}{(s+1)^3}\)（仓库里的三阶对象）。P 控制时特征方程 \(s^3+3s^2+3s+1+K_p=0\)，劳斯表 \(s^1\) 行为 \(\dfrac{8-K_p}{3}\)，所以 \(K_u=8\)；由辅助方程 \(3s^2+9=0\) 得 \(\omega_u=\sqrt3\)，\(T_u=2\pi/\sqrt3\approx3.63\) s。按表得 PID 参数：

这组参数的闭环超调约 41%～53%（D 作用在误差上还是测量值上，结果不同），相位裕度约 30°。Z–N 法得到的参数偏激进，通常把它当起点，再适当减小 \(K_p\)、加大 \(T_i\)。第9章会介绍更稳妥的整定方法。

6.6 动手：PID 实验台和 app.py

下面这个实验台在浏览器里仿真「数字 PID + 被控对象」的闭环，默认参数就是上面 Z–N 例子的结果。试试：

• 把 Ki、Kd 拉到 0，只用 P，看稳态误差；把 Kp 拉到 8 附近，看等幅振荡；
• 恢复 PID 后，把「执行器限幅」调到 1.5 左右，看积分饱和造成的大超调，再勾上「抗积分饱和」对比；
• 取消勾选「微分作用于测量值」，看设定值阶跃时 u 的尖峰（微分冲击）；
• 加一点测量噪声，看 D 项把噪声放大；再勾上「微分低通滤波」；
• 把采样周期拉大到 0.3 s 以上，看系统怎样变得越来越振荡（第8章解释原因）。

同样的练习也可以在仓库的 app.py 里做（在项目目录执行 uv sync --locked，然后 uv run app.py）。区别在于 app.py 里的 PID 要你自己在 pid.py 里写，修改保存后按 F5 重新加载：

class PID:
    def __init__(self, kp, ki, kd, out_limit=None):
        self.kp, self.ki, self.kd = kp, ki, kd
        self.out_limit = out_limit
        self.integral = 0.0
        self.prev_measurement = None

    def update(self, setpoint, measurement, dt):
        error = setpoint - measurement
        # D 项对测量值求导：设定值突变时不会产生尖峰
        if self.prev_measurement is None:
            d = 0.0
        else:
            d = -(measurement - self.prev_measurement) / dt
        self.prev_measurement = measurement

        u = self.kp * error + self.ki * self.integral + self.kd * d
        # 抗积分饱和：输出没有饱和，或者误差会让积分往回退时，才继续积分
        saturated = self.out_limit is not None and abs(u) >= self.out_limit
        if not saturated or error * u < 0:
            self.integral += error * dt
        return u

本章小结

练习