线性系统的时域分析

时域分析就是直接看系统对典型输入的响应 \(c(t)\)：稳不稳定，过渡过程好不好，最后误差有多大。它最直观，也是工程上验收一个控制系统时最常看的东西。

3.1 典型输入与性能指标

阶跃响应的性能指标：

• 上升时间 \(t_r\)：响应第一次达到稳态值的时间（无超调的系统用 10%→90% 的时间）；
• 峰值时间 \(t_p\)：到达第一个峰值的时间；
• 超调量 \(\sigma\%\)：\(\dfrac{c(t_p)-c(\infty)}{c(\infty)}\times100\%\)，衡量平稳性；
• 调节时间 \(t_s\)：响应进入并保持在稳态值 \(\pm\Delta\)（\(\Delta=2\%\) 或 \(5\%\)）范围内所需的时间，衡量快速性；
• 稳态误差 \(e_{ss}\)：\(t\to\infty\) 时期望值与实际值之差，衡量准确性。

\(t_r\)、\(t_p\)、\(t_s\) 管「快」，\(\sigma\%\) 管「稳」（相对稳定性），\(e_{ss}\) 管「准」。

3.2 一阶系统

单位阶跃响应：\(C(s)=\dfrac{1}{s(Ts+1)}=\dfrac1s-\dfrac{T}{Ts+1}=\dfrac1s-\dfrac{1}{s+1/T}\)，所以 \(c(t)=1-e^{-t/T}\)。

其他输入：单位脉冲响应 \(c(t)=\dfrac1Te^{-t/T}\)（正好是阶跃响应的导数）；单位斜坡响应 \(c(t)=t-T+Te^{-t/T}\)，稳态时输出比输入落后 \(T\)，即斜坡输入下的稳态误差为 \(T\)。

3.3 二阶系统

标准形式（单位负反馈，开环 \(G(s)=\dfrac{\omega_n^2}{s(s+2\xi\omega_n)}\)）：

\(\xi\)：阻尼比；\(\omega_n\)：无阻尼自然振荡频率。拿到一个二阶系统，第一步就是把分母和标准形式对比，求出 \(\xi\) 和 \(\omega_n\)。例：单位负反馈，\(G(s)=\dfrac{K}{s(s+2)}\)，闭环分母 \(s^2+2s+K\)，对比得 \(\omega_n=\sqrt K\)，\(2\xi\omega_n=2\Rightarrow\xi=1/\sqrt K\)。

欠阻尼二阶系统的性能指标

记阻尼振荡频率 \(\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\xi^2}\)，阻尼角 \(\beta=\arccos\xi\)（极点与负实轴的夹角，见上面组件的右图）。对 \(C(s)=\dfrac{\omega_n^2}{s(s^2+2\xi\omega_ns+\omega_n^2)}\) 做部分分式展开并配方，得到

由此推出各项指标：

• 峰值时间：令 \(\dot c(t)=0\)，可得 \(\sin\omega_dt=0\)，第一个峰值在 \(\omega_dt=\pi\)，所以 \(t_p=\dfrac{\pi}{\omega_d}\)；
• 超调量：把 \(t_p\) 代回 \(c(t)\)，得 \(\sigma\%=e^{-\pi\xi/\sqrt{1-\xi^2}}\times100\%\)；
• 上升时间：令 \(c(t)=1\)，即 \(\sin(\omega_dt+\beta)=0\)，得 \(t_r=\dfrac{\pi-\beta}{\omega_d}\)；
• 调节时间：响应夹在两条包络线 \(1\pm\dfrac{e^{-\xi\omega_nt}}{\sqrt{1-\xi^2}}\) 之间，令包络线进入 \(\pm\Delta\) 带，得 \(t_s=\dfrac{1}{\xi\omega_n}\ln\dfrac{1}{\Delta\sqrt{1-\xi^2}}\)。\(\xi\) 不大时，约为 \(\dfrac{3}{\xi\omega_n}\)（Δ=5%）或 \(\dfrac{4}{\xi\omega_n}\)（Δ=2%）。

例：按指标确定参数

单位负反馈，\(G(s)=\dfrac{K}{s(Ts+1)}\)。要求 \(\sigma\%=16.3\%\)，\(t_p=1\) s，求 \(K\) 和 \(T\)。

1. 由超调量反查：\(\sigma\%=16.3\%\Rightarrow\xi=0.5\)；
2. 由峰值时间：\(t_p=\dfrac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\xi^2}}=1\Rightarrow\omega_n=\dfrac{\pi}{\sqrt{0.75}}=3.63\) rad/s；
3. 写出闭环传递函数并对比标准形式：\(\Phi(s)=\dfrac{K/T}{s^2+\frac1Ts+\frac KT}\)，所以 \(2\xi\omega_n=\dfrac1T\)、\(\omega_n^2=\dfrac KT\)；
4. 解得 \(T=\dfrac{1}{2\xi\omega_n}=0.276\) s，\(K=\omega_n^2T=3.63\)。

用仿真验证：这组参数的超调量 16.3%，峰值时间 1.00 s。

这个仓库 plant.py 里的二阶对象 \(\dfrac{4}{s^2+1.2s+4}\)：\(\omega_n=2\)，\(2\xi\omega_n=1.2\Rightarrow\xi=0.3\)，所以它的阶跃响应超调约 37%。在上面的组件里点「仓库里的二阶对象」可以看到。

改善二阶系统的性能

标准二阶系统里，想让超调小（\(\xi\) 大），就得把开环增益调小，系统会变慢、稳态误差变大。两种常用的办法可以在不降低增益的情况下增大阻尼：

例　对象 \(\dfrac{4}{s(s+1.2)}\)（\(\omega_n=2\)，\(\xi=0.3\)），希望 \(\xi=0.7\)：

• 校正前：超调 37.2%，调节时间 5.6 s，速度误差系数 \(K_v=4/1.2=3.33\)；
• 测速反馈 \(K_t=0.4\)：\(\xi_t=0.3+0.4=0.7\)，超调 4.6%，调节时间 3.0 s，但 \(K_v\) 降到 \(4/2.8=1.43\)；
• PD 控制 \(T_d=0.4\)：\(\xi_d=0.7\)，超调 8.1%（零点的影响），调节时间 2.6 s，\(K_v\) 不变。

实验：二阶系统的阶跃响应

用模拟电路搭建标准二阶系统，输入 1 V 阶跃，改变电阻、电容来改变 \(\xi\) 和 \(\omega_n\)：

3.4 高阶系统与主导极点

高阶系统的阶跃响应是各极点对应分量之和。离虚轴越远的极点，对应分量衰减越快，对整体响应的影响越小；而且如果某个极点附近有一个零点，它们的作用会大部分抵消（偶极子）。

例　闭环特征方程 \(s^3+4s^2+3s+1.83=0\) 的根约为 \(-0.375\pm j0.65\) 和 \(-3.25\)。第三个极点的实部是复极点的 8.7 倍，可以忽略。复极点对应 \(\xi=0.5\)，按二阶公式估计超调 16.3%；实际仿真为 15.8%，近似得很好。（这个例子在第4章根轨迹里会再出现。）

工程上设计系统，常常就是把闭环极点配置成「一对合适的主导极点 + 若干远离虚轴的极点」。

3.5 稳定性与劳斯判据

稳定：系统受扰动偏离平衡状态，扰动消失后能够恢复到原平衡状态。

必要条件：特征方程 \(a_0s^n+a_1s^{n-1}+\cdots+a_n=0\)（\(a_0>0\)）的各项系数全部为正且不缺项。不满足就一定不稳定；满足了，一阶和二阶系统一定稳定，三阶及以上还要用劳斯判据。

劳斯表的构造

前两行直接抄系数（隔一个取一个）。之后每一行都由它上面两行算出：「上两行第一列和下一列交叉相乘相减，再除以上一行第一个数」。空缺的位置当作 0。

例　\(s^4+2s^3+3s^2+4s+5=0\)。系数全正，满足必要条件，列劳斯表：

第一列 1, 2, 1, −6, 5，变号两次（1→−6，−6→5），所以有两个根在右半平面，系统不稳定。可以把 1 2 3 4 5 输入下面的计算器核对。

两种特殊情况

(1) 某行第一个数为 0，但该行其余数不全为 0：用很小的正数 \(\varepsilon\) 代替这个 0，继续算下去，再令 \(\varepsilon\to0^+\) 看第一列的符号。

例　\(s^5+2s^4+2s^3+4s^2+11s+10=0\)：

第一列 \(+,+,+,-,+,+\)，变号两次，有两个右半平面根。

(2) 某一行全为 0：说明存在关于原点对称的根（如 \(\pm j\omega\) 或 \(\pm a\)）。用全零行上面那一行的系数构成辅助多项式 \(F(s)\)，对 \(s\) 求导，用导数的系数代替全零行继续计算。令 \(F(s)=0\) 可以解出那些对称的根。

例　\(s^3+2s^2+s+2=0\)：\(s^3\) 行 1, 1；\(s^2\) 行 2, 2；\(s^1\) 行 \(\frac{2-2}{2}=0\)，全零。辅助多项式 \(F(s)=2s^2+2\)，\(F'(s)=4s\)，用 4 代替；\(s^0\) 行为 2。第一列没有变号，但有全零行：由 \(2s^2+2=0\) 得 \(s=\pm j\)，系统临界稳定。（事实上 \(s^3+2s^2+s+2=(s+2)(s^2+1)\)。）

用劳斯判据确定参数范围

例 3-7-1　单位负反馈，\(G(s)=\dfrac{K}{s(s+2)(s^2+s+1)}\)，求使系统稳定的 \(K\) 的范围。

闭环 \(\Phi(s)=\dfrac{K}{s(s+2)(s^2+s+1)+K}\)，特征方程 \(s^4+3s^3+3s^2+2s+K=0\)，劳斯表：

把 \(K\) 的值填进计算器验证：\(K=1\) 稳定，\(K=2\) 不稳定。这类题的套路：写出闭环特征方程 → 列劳斯表 → 令第一列全部大于 0 → 解不等式。

相对稳定性：如果要求所有极点都在 \(s=-\sigma\) 的左边（而不只是在虚轴左边），可以令 \(s=z-\sigma\) 代入特征方程，再对 \(z\) 的方程用劳斯判据。

实验：三阶系统的稳定性

三阶系统的模拟电路中，用电位器 \(W_R\) 改变开环增益，输入 0.5 V 阶跃：

• \(W_R=20\) kΩ、50 kΩ 时，输出振荡越来越大，不稳定；\(W_R=200\) kΩ、300 kΩ 时稳定。
• 调到等幅振荡（临界稳定）时，测得临界开环增益 \(K_c=\dfrac{4.79\text{ V}}{0.5\text{ V}}=9.58\)。

3.6 稳态误差

误差定义为 \(E(s)=R(s)-H(s)C(s)\)（单位反馈时就是 \(R-C\)）。由误差传递函数和终值定理：

前提是闭环稳定，否则谈不上稳态误差。所以求稳态误差的第一步永远是先判断稳定性。

把开环传递函数写成时间常数形式 \(G(s)H(s)=\dfrac{K\prod(\tau_is+1)}{s^\nu\prod(T_js+1)}\)，\(\nu\) 是开环积分环节的个数，称为系统型别：\(\nu=0,1,2\) 分别叫 0 型、I 型、II 型系统。

例 1　单位反馈，\(G(s)=\dfrac{10}{s(s+2)}\)，\(r(t)=2+t\)。先判稳：特征方程 \(s^2+2s+10=0\)，系数全正的二阶系统，稳定。系统是 I 型，\(K=10/2=5\)。阶跃部分误差为 0，斜坡部分误差 \(1/K_v=0.2\)，所以 \(e_{ss}=0.2\)。输入是几种信号的组合时，误差可以叠加。

扰动引起的稳态误差

实际系统更常遇到的是扰动：负载变化、电压波动、阵风。设控制器 \(G_1(s)\)，对象 \(G_2(s)\)，扰动 \(N(s)\) 加在两者之间，单位负反馈。令 \(R=0\)，扰动单独作用时的误差：

例 2　\(G_1=K_1\)（比例控制），\(G_2=\dfrac{K_2}{s(Ts+1)}\)，单位阶跃扰动 \(N=\frac1s\)：

虽然对象里有积分环节，阶跃扰动仍然留下 \(-1/K_1\) 的误差。如果控制器换成 PI：\(G_1=K_1\left(1+\dfrac{1}{T_is}\right)\)，\(s\to0\) 时 \(G_1\to\infty\)，误差变为 0。

本章小结

练习